Question

如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B （3，0）两点，与y轴交点C（0，-3）
（1）求抛物线的解析式以及顶点D的坐标；
（2）若M是线段BD的中点，连接CM，猜想线段CM与线段BD之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式是：y=a（x+1）（x-3），
把（0，-3）代入得：-3=a（0+1）（0-3），
解得：a=1，
∴y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），
答：抛物线的解析式是y=x²-2x-3，顶点D的坐标是（1，-4）．

（2）线段CM与线段BD之间的数量关系是CM=BD．
证明：过M作MQ⊥x轴于Q，过D作DH⊥x轴于H，
∵D（1，-4），B（3，0），M为BD的中点，
∴MQ=2，HQ=1，
∴OQ=1+1=2，
∴M（2，-2），
由勾股定理得：BD==2，
过M作MN⊥y轴于N，
则MN=PQ=2，CN=OC-MQ=3-2，
由勾股定理得：CM==，
∵CM=，BD=2（已求出），
∴CM=BD．

（3）坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似，点P的坐标是（0，0），（0，），（9，0）．
分析：（1）设抛物线的解析式是：y=a（x+1）（x-3），把C的坐标代入求出即可；
（2）过M作MQ⊥X轴于Q，过D作DH⊥X轴于H，根据三角形的中位线求出M的坐标，根据勾股定理求出CM、BD即可；
（3）①当∠PAC=90°，②当∴APC=90°时，③当∠ACP=90°，根据相似三角形的性质得到比例式，代入求出即可．
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，三角形的中位线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．