Question

12．如图，抛物线y=a（x-1）²+b经过A（4，0）和B（0，4）两点．
（1）求a、b的值，并写出抛物线的解析式；
（2）记抛物线的顶点为C，求△ABC的面积；
（3）M是抛物线上的一个动点，且位于笫一象限内．设△ABM的面积为S，试求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）把A和B点的坐标代入抛物线y=a（x-1）²+b，求出a，b的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，根据抛物线的顶点坐标求出C的坐标，再根据S_△ABC=S_梯形BODC+S_△ADC-S_△AOB，即可求出△ABC的面积；
（3）过点M作MN⊥OA于N，设点M的坐标为[a，-$\frac{1}{2}$（a-1）²+$\frac{9}{2}$]，根据M位于笫一象限，得出S_△ABM=S_梯形BONM+S_△ANM-S_△AOB，再把相关的数据代入计算即可得出答案．

解答 解：（1）∵抛物线y=a（x-1）²+b经过A（4，0）和B（0，4）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a（4-1）^{2}+b}\\{4=a（0-1）^{2}+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式是y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$；

（2）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵抛物线的顶点是（1，$\frac{9}{2}$）
∴C的坐标是（1，$\frac{9}{2}$）
∴S_△ABC=S_梯形BODC+S_△ADC-S_△AOB
=$\frac{1}{2}$（CD+BO）•OD+$\frac{1}{2}$AD•CD-$\frac{1}{2}$AO•BO
=$\frac{1}{2}$（$\frac{9}{2}$+4）×1+$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$×4×4
=3；

（3）如图2，过点M作MN⊥OA于N，
设点M的坐标为[a，-$\frac{1}{2}$（a-1）²+$\frac{9}{2}$]，
∵M位于笫一象限，
∴S_△ABM=S_梯形BONM+S_△ANM-S_△AOB
=$\frac{1}{2}$×[4-$\frac{1}{2}$（a-1）²+$\frac{9}{2}$]•a+$\frac{1}{2}$×（4-a）×[-$\frac{1}{2}$（a-1）²+$\frac{9}{2}$]-$\frac{1}{2}$×4×4
=-a²+4a
=-（a-2）²+4，
∴S的最大值是4．

点评 此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是三角形、梯形的面积公式、二次函数的图象与性质，关键是根据题意作出辅助线，构造梯形和直角三角形．