Question

12．如图，在?ABCD中，点E，F分别是AB，CD边上的两点，且BE=DF，连接CE，AF，分别交BD于点G，H，连接AG，CH．
（1）若BC=6，AB=8，∠CBA=60°，求?ABCD的面积．
（2）若AB=AD，求证：四边形AGCH是菱形．

Answer 1

分析 （1）过C作CM⊥AB于M，根据∠BCM=30°，可得BM=$\frac{1}{2}$BC=3，再根据Rt△BCM中，CM=3$\sqrt{3}$，即可根据平行四边形ABCD的面积=AB×CM进行计算；
（2）先判定四边形AECF是平行四边形，进而得到∠CBG=∠ADH，∠BCG=∠DAH，进而得出△BCG≌△DAH（ASA），可得CG=AH，即可判定四边形AGCH是平行四边形，最后根据AC⊥GH，即可得到四边形AGCH是菱形．

解答 解：（1）如图所示，过C作CM⊥AB于M，
∵BC=6，AB=8，∠CBA=60°，
∴∠BCM=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴Rt△BCM中，CM=$\sqrt{C{B}^{2}-B{M}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴平行四边形ABCD的面积=AB×CM=8×3$\sqrt{3}$=24$\sqrt{3}$；

（2）如图所示，连接AC，
∵平行四边形ABCD中，CD=AB，BE=DF，
∴AE=CF，
又∵CD∥AB，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴∠FCG=∠EAH，
∵平行四边形ABCD中，BC∥AD，∠BAD=∠BCD，BC=DA，
∴∠CBG=∠ADH，∠BCG=∠DAH，
在△BCG和△DAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠ADH}\\{BC=DA}\\{∠BCG=∠DAH}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DAH（ASA），
∴CG=AH，
又∵平行四边形AECF中，CE∥AF，
∴CG∥AH，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵平行四边形ABCD中，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即AC⊥GH，
∴四边形AGCH是菱形．

点评 本题主要考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理求得边长．解题时注意：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．