Question

如图，大圆的弦AB与小圆相切，且小圆圆心在大圆直径上，若AB=12，则图中阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,垂径定理

专题：计算题

分析：作OC⊥AB于C，O₁D⊥AB于D，连接OB，如图，根据切线的性质得O₁D为⊙O₁的半径，易得四边形OO₁DC为矩形，则OC=O₁D，再根据垂径定理得到AC=BC=

1

2

AB=6，在Rt△OBE中，利用勾股定理得到OB²-OC²=BC²=36，然后利用阴影部分的面积=

1

2

S_⊙0-

1

2

S_⊙O1进行计算．

解答：解：作OC⊥AB于C，O₁D⊥AB于D，连接OB，如图，
∵大半圆的弦AB与小半圆相切，
∴O₁D为⊙O₁的半径，
而OC⊥AB，AB∥OO₁，
∴四边形OO₁DC为矩形，
∴OC=O₁D，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=

1

2

AB=6，
在Rt△OBE中，OB²-OC²=BC²=36，
∵阴影部分的面积=

1

2

S_⊙0-

1

2

S_⊙O1=

1

2

（π•OB²-π•O₁D²）=

1

2

π（OB²-OC²）=18π．
故答案为18π．

点评：本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．