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    【题目】已知，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．

    （1）求证：；

    （2）若，的面积为2，求的面积．

    【答案】（1）见解析；（2）16.

    【解析】

    （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由ASA即可得出结论；

    （2）由于，O为对角线AC的中点，得出△AEO∽△ADC，根据的面积为2，可得△ADC的面积，进而得到的面积．

    解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

    ∴AD∥BC，

    ∴∠EAO＝∠FCO，

    ∵O是AC的中点，

    ∴OA＝OC，

    在△AOE和△COF中，，

    ∴△AOE≌△COF（ASA）；

    （2）∵=1：2，O为对角线AC的中点，

    ∴AO:AC=1:2，

    ∵∠EAO＝∠DAC，

    ∴△AEO∽△ADC，

    ∵的面积为2，

    ∴△ADC的面积为8，

    ∴的面积为16.

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    问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为________尺．（结果用最简根式表示）

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    【题目】已知，在中，，，点为的中点．

    （1）若点、分别是、的中点，则线段与的数量关系是 ；线段与的位置关系是 ；

    （2）如图①，若点、分别是、上的点，且，上述结论是否依然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

    （3）如图②，若点、分别为、延长线上的点，且，直接写出的面积．

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    【题目】已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∥AB．

    求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=．

    作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．

    （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

    （2）完成下面的证明．

    证明：∵CD∥AB，

    ∴∠ABP= ．

    ∵AB=AC，

    ∴点B在⊙A上．

    又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据）

    ∴∠ABP=∠BAC

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．

    （1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；

    （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．


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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．

    （1）如图1，求证：AB为的切线；

    （2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F．

    ①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．

    ②若，求的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】（1）如图1，在⊙O中，弦AB与CD相交于点F，∠BCD＝68°，∠CFA＝108°，求∠ADC的度数．

    （2）如图2，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE的垂线交BC于点F，若AB＝9，BF＝7，求DE长．

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    【题目】例　如图①，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制的类似天平的仪器的左边固定托盘中放置一个重物，在右边活动托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘与点的距离，观察活动托盘中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表：

    10

    15

    20

    25

    30

    30

    20

    15

    12

    10

    （1）把表中的各组对应值作为点的坐标，在图②的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；

    （2）观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出函数关系式；

    （3）当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是多少？

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    【题目】（探究）某商场秋季计划购进一批进价为每条40元的围巾进行销售，根据销售经验，应季销售时，若每条围巾的售价为60元，则可售出400条；若每条围巾的售价每提高1元，销售量相应减少10条．

    （1）假设每条围巾的售价提高x元，那么销售每条围巾所获得的利润是________元，销售量是______条；（用含x的代数式表示）

    （2）设应季销售利润为y元，请写y与x的函数关系式；并求出应季销售利润为8000元时每条围巾的售价；

    （拓展）根据销售经验，过季处理时，若每条围巾的售价定为30元亏本销售，可售出50条；若每条围巾的售价每降低1元，销售量相应增加5条．

    （1）若剩余100条围巾需要处理，经过降价处理后还是无法销售的只能积压在仓库，损失本金；若使亏损金额最小，求每条围巾的售价；

    （2）若过季需要处理的围巾共m条，且，求过季亏损金额最小值；（用含m的代数式表示）

    （延伸）若商场共购进了500条围巾且销售情况满足上述条件，如果应季销售利润在不低于8000元的条件下：

    （1）没有售出的围巾共m条，求m的取值范围；

    （2）要使最后的总利润（销售利润=应季销售利润-过季亏损金额）最大，求应季销售的售价．

    参考公式：抛物线的顶点坐标是．

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