Question

【题目】

如图1，抛物线经过A（1，0），B（7，0），D（0，） 三点，以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线x轴上方是否存在点M，使S△ABM =S△ABC，若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P.

①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系，请说明理由，并求出∠APB的度数；

②若AF=BE，当点E由A运动到C时，试求点P经过的路径长.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2-2x+．（2）M1（9，4），M2（-1，4）．（3）①AF=BE，∠APB=120°．

【解析】

试题分析：（1）先设出抛物线的解析式，然后将已知点的坐标代入求解即可；

（2）过点C作CK⊥x轴，垂足为K．先求得三角形ABC的面积，从而得到△ABM的面积，依据三角形的面积公式可求得点M的纵坐标为4，由点M在抛物线可知可知y=4，从而可求得对应的x的值，于是得到点M的坐标；

（3）①先证明依据SAS△BEC≌△AFB，由全等三角形的性质可得到AF=BE，接下来证明∠FAB+∠ABP=∠ABC，最后依据三角形的内角和定理可求得∠APB的度数；②如图3所示：设所在圆的圆心为M，点H在圆M上，连接AM、BM、AH、BH，过点M作MG⊥AB，垂足为G．依据圆的内角四边形的性质和圆周角定理可求得∠AMB的长，接下来，依据等腰三角形三线合一的性质可得到AG=3，∠AMG=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后依据扇形的弧长公式求解即可；如图4所示：当AE=BF时．依据SAS可证明△AEB≌△BAF，从而得到∠PAB=∠PBA，故此可知点P在AB的垂直平分线上，最后依据特殊锐角三角函数求得CN的长即可．

试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+．

∵将点A、B的坐标代入得：，解得：a=，b=-2，

∴抛物线的解析式为y=x2-2x+．

（2）存在点M使得S△AMB=S△ABC．

如图1所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．

∵CK⊥AB，

∴KA=BK=3，∠ACK=60°．

∴CK=3．

∴S△ABC=ABCK=×6×3=9．

∴S△ABM=×9=12．

设M（x，x2-2x+）．

∴AB|yM|=12，即×6×（x2-2x+）=12．

解得x1=9，x2=-1．

∴M1（9，4），M2（-1，4）．

（3）①AF=BE，∠APB=120°．

理由：如图2所示；

∵△ABC为等边三角形，

∴BC=AB，∠C=∠ABF．

∵在△BEC和△AFB中

，

∴△BEC≌△AFB．

∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．

∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．

∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-60°=120°．

②如图3所示：当CE=FB时．

∵由①可知：∠APB=120°，

∴点P的运动轨迹是一条弧．

设所在圆的圆心为M，点H在圆M上，连接AM、BM、AH、BH，过点M作MG⊥AB，垂足为G．

∵∠APB=120°，

∴∠AHB=60°．

∴∠AMB=120°．

∵AM=MB，MG⊥AB，

∴AG=BG=3，∠AMG=∠BMG=60°．

∴，即．

∴AM=2．

∴点P运动的路径=．

如图4所示：当AE=BF时．

∵在△ABE和△BAF中

，

∴△ABE≌△BAF．

∴AF=EB，∠FAB=∠EBA．

∴AP=BP．

∴点P在AB的垂直平分线上．

∴点P运动的路线=NC=3．

∴点P经过的路径长为或3．