【题目】如图,抛物线(a≠0)交x轴于A、B两点,A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动,分别交x轴于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长;
(3)在(2)的条件下,连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似?若存在,求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=-x2+
x+4;(2)PM=-
m2+4m(0<m<3);(3)存在这样的点P使△PFC与△AEM相似.此时m的值为
或1.
【解析】
试题分析:(1)将A(3,0),C(0,4)代入y=ax2-2ax+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)先根据A、C的坐标,用待定系数法求出直线AC的解析式,进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标,即可得到PM的长;
(3)由于∠PFC和∠AEM都是直角,F和E对应,则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时,分两种情况进行讨论:①△PFC∽△AEM,②△CFP∽△AEM;可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长,根据相似三角形对应边的比相等列出比例式,求出m的值.
试题解析:(1)∵抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)经过点A(3,0),点C(0,4),
∴,
解得.
∴抛物线的解析式为y=-x2+
x+4;
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,
∵A(3,0),点C(0,4),
∴,
解得.
∴直线AC的解析式为y=-x+4.
∵点M的横坐标为m,点M在AC上,
∴M点的坐标为(m,-m+4),
∵点P的横坐标为m,点P在抛物线y=-x2+
x+4上,
∴点P的坐标为(m,-m2+
m+4),
∴PM=PE-ME=(-m2+
m+4)-(-
m+4)=-
m2+4m,
即PM=-m2+4m(0<m<3);
(3)在(2)的条件下,连结PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似.理由如下:由题意,可得AE=3-m,EM=-m+4,CF=m,若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似,情况:
①P点在CD上方,则PF=-m2+
m+4-4=-
m2+
m.
若△PFC∽△AEM,则PF:AE=FC:EM,
即(-m2+
m):(3-m)=m:(-
m+4),
∵m≠0且m≠3,
∴m=;
②若△CFP∽△AEM,则CF:AE=PF:EM,
即m:(3-m)=(-m2+
m):(-
m+4),
∵m≠0且m≠3,
∴m=1.
综上所述,存在这样的点P使△PFC与△AEM相似.此时m的值为或1.
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【题目】
如图1,抛物线经过A(1,0),B(7,0),D(0,) 三点,以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线x轴上方是否存在点M,使S△ABM =S△ABC,若存在,请求出点M坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,E是线段AC上的动点,F是线段BC上的动点,AF与BE相交于点P.
①若CE=BF,试猜想AF与BE的数量关系,请说明理由,并求出∠APB的度数;
②若AF=BE,当点E由A运动到C时,试求点P经过的路径长.
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【题目】如图所示,△ABC的外接圆圆心O在AB上,点D是BC延长线上一点,DM⊥AB于M,交AC于N,且AC=CD.CP是△CDN的ND边的中线.
(1)求证:△ABC≌△DNC;
(2)试判断CP与⊙O的位置关系,并证明你的结论。
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【题目】为积极响应市委,市政府提出的“实现伟大中国梦,建设美丽新城市”的号召,我市某校在八,九年级开展征文活动,校学生会对这两个年级各班内的投稿情况进行统计,并制成了如图所示的两幅不完整的统计图.
(1)求扇形统计图中投稿篇数为2所对应的扇形的圆心角的度数:
(2)求该校八,九年级各班在这一周内投稿的平均篇数,并将该条形统计图补充完整.
(3)在投稿篇数为9篇的两个班级中,八,九年级各有两个班,校学生会准备从这四个中选出两个班参加全市的表彰会,请你用列表法或画树状图的方法求出所选两个班正好不在同一年级的概率.
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【题目】如图,点A、B的坐标分别为(1,1)和(5,4),抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),当抛物线的顶点为A时,点C的横坐标为O,则点D的横坐标最大值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
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【题目】如图,在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN,在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向,且与O相距20千米的A处;经过40分钟,又测得该轮船位于O的正北方向,且与O相距20千米的B处.
(1)求该轮船航行的速度;
(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由.(参考数据:,
)
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