Question

3．已知双曲线y=$\frac{6}{x}$和直线y=kx+4．
（1）若直线y=kx+4与双曲线y=$\frac{6}{x}$有唯一公共点，求k的值．
（2）若直线y=kx+4与双曲线交于点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．当x₁＞x₂，请借助图象比较y₁与y₂的大小．

Answer 1

分析 （1）解两函数组成的方程组，得出一个医院二次方程，根据根的判别式即可求出答案；
（2）分为三种情况，结合图形比较即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}①}\\{y=kx+4②}\end{array}\right.$
把①代入②得：$\frac{6}{x}$=kx+4，
kx²+4x-6=0，
∵直线y=kx+4与双曲线y=$\frac{6}{x}$有唯一公共点，
∴方程kx²+4x-6=0有唯一一个解，
即△=4²-4k•（-6）=0，
解得：k=-$\frac{2}{3}$；

（2）当x₁＞x₂＞0时，y₁＜y₂；
当x₂＜x₁＜0时，y₁＜y₂；
当x₂＜0＜x₁时，y₁＞y₂．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，根的判别式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用，能理解两函数有唯一公共点的意义是解此题的关键，数形结合思想的应用．