Question

18．如图，在△ABC中，AD是高，AE和BF是角平分线，它们相交于点O，∠ABC=60°，∠C=70°，求∠CAD和∠AOF的度数．

Answer 1

分析 在直角三角形中根据两锐角互余即可得到∠CAD，根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，而∠EAC=90°-∠C，然后利用∠DAE=∠DAC-∠EAC进行计算即可．由三角形外角的性质求得∠AFO=100°，利用三角形内角和定理得到∠AOF=55°．

解答 解∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-70°=20°；
在△ABC中，∵∠ABC=60°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=50°，
∵AE是的角平分线，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=25°，
∵BF是∠ABC的平分线，∠ABC=60°，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
又∵∠C=70°，
∴∠AFO=80°，
∴∠AOF=180°-80°-25°=55°．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，三角形的高线与角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．