如图.已知抛物线经过点A及原点O.顶点为C．(1)求抛物线的解析式,(2)在抛物线的BC段上.是否存在一点G.使得△GBC的面积最大?若存在.求出这个最大值及此时点G的坐标,若不存在.请说明理由,(3)P是抛物线的第一象限内的动点.过点P作PM⊥x轴.垂足为M.是否存在点P.使得以P.M.A为顶点的三角形与△BOC相似?若存在.求出点P的坐标,若不存在.请说明理由,(4)若点D在抛物线上.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．

如图，已知抛物线经过点A（-2，0），点B（-3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的BC段上，是否存在一点G，使得△GBC的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点G的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P是抛物线的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．

分析（1）根据抛物线过A（-2，0）及原点可设y=a（x+2）（x-0），然后根据抛物线y=a（x+2）（x-0）过B（-3，3），求出a的值即可；
（2）存在一点G，使得△GBC的面积最大，过G作GH垂直y轴交BC于点H，设G（x₁，x²+2x），设过直线BC的解析式为y=kx+b，可求出直线的解析式，进而可表示出点H的坐标，再由三角形的面积公式可得到△GBC的面积和x的函数关系，由函数的性质即可求出其面积最大值以及点G的坐标；
（3）根据题意画出图形，根据B横坐标为-3，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B坐标，进而求出BC，BO，OC的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形BOC为直角三角形，若P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（m，n），由题意得m＞0，n＞0，且n=m²+2m，根据相似得比例，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而求出n的值，即可确定出P的坐标；
（4）分三种情况考虑，D在第一象限，第二象限以及第三象限，利用平行四边形的性质及坐标与图形性质求出D坐标即可．

解答解：（1）根据抛物线过A（-2，0）及原点，可设y=a（x+2）（x-0），
又∵抛物线y=a（x+2）x过B（-3，3），
∴-3（-3+2）a=3，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+2）x=x²+2x；
（2）存在一点G，使得△GBC的面积最大，理由如下：

理由：过G作GH垂直y轴交BC于点H，设G（x₁，x²+2x），设过直线BC的解析式为y=kx+b，
∵y=（x-2）x=x²-2x=（x+1）²-1，
∴顶点C（-1，-1），
又∵B（-3，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-1}\\{-3k+b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴y=-2x-3，
∴可设点H（x，-2x-3）
∴S_△GBC=$\frac{1}{2}$（-2x-3-x²-2x）•（-1+3）=-x2-4x-3=-（x+2）²+1
∵a=-1＜0，对称轴为x=-2，
∴当x=-2时，S_△GBC=1最大，此时，G（-2，0）；
（3）存在，
∵点B在抛物线上，
∴当x=-3时，y=9-6=3，
∴B（-3，3），
根据勾股定理得：BO²=9+9=18；CO²=1+1=2；BC²=16+4=20，
∴BO²+CO²=18+2=20，
∴BO²+CO²=BC²，
∴△BOC为直角三角形，
假设存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似，如图2，
设P（m，n），由题意得m＞0，n＞0，且n=m²+2m，
①若△AMP∽△BOC，则$\frac{AM}{BO}=\frac{PM}{CO}$，即$\frac{m+2}{\sqrt{18}}=\frac{{m}^{2}+2m}{\sqrt{2}}$，
整理得：m+2=3（m²+2m）=0，即3m²+5m-2=0，
解得：m₁=$\frac{1}{3}$，m₂=-2（舍去），
m₁=$\frac{1}{3}$时，n=$\frac{1}{9}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{9}$，
∴P（$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$）；
②若△AMP∽△COB，则$\frac{AM}{CO}=\frac{PM}{BO}$，即$\frac{m+2}{\sqrt{2}}=\frac{{m}^{2}+2}{\sqrt{18}}$，
整理得：m²-m-6=0，
解得 m₁=3，m₂=-2（舍去），
当m=3时，n=9+6=15，
∴P（3，15），
综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P₁（$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$），P₂（3，15）；
（4）如图3所示，分三种情况考虑：
当D₁在第一象限时，若四边形AOD₁E₁为平行四边形，
∴AO=E₁D₁=2，
∵抛物线对称轴为直线x=-1，
∴D₁横坐标为1，
将x=1代入抛物线y=x²+2x=1+2=3，即D₁（1，3）；
当D₂在第二象限时，同理D₂（-3，3）；
当D₃在第三象限时，若四边形AE₂OD₃为平行四边形，此时D₃与C重合，即D₃（-1，-1）．

点评本题综合考查了二次函数的综合，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用．

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