如图.在平面直角坐标系xOy中.一次函数y=3x+1的图象与y轴交于点A.与反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象交于点B.且点B的横坐标为1.过点A作AC⊥y轴交反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象于点C.连接BC．(1)求反比例函数的表达式及△ABC的面积,(2)直接写出当x＜1时.y=$\frac{k}{x}$中y� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x+1的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为1，过点A作AC⊥y轴交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象于点C，连接BC．
（1）求反比例函数的表达式及△ABC的面积；
（2）直接写出当x＜1时，y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中y的取值范围．

分析（1）先由一次函数y=3x+1的图象过点B，且点B的横坐标为1，将x=1代入y=3x+1，求出y的值，得到点B的坐标，再将B点坐标代入y=$\frac{k}{x}$，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；根据一次函数y=3x+1的图象与y轴交于点A，求出点A的坐标为（0，1），再将y=1代入y=$\frac{4}{x}$，求出x的值，那么AC=4．过B作BD⊥AC于D，则BD=y_B-y_C=4-1=3，然后根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD，将数值代入计算即可求解；
（2）根据x＜1时，得到$\frac{4}{y}＜1$，于是得到y的取值范围．

解答解：（1）∵一次函数y=3x+1的图象过点B，且点B的横坐标为1，
∴y=3×1+1=4，
∴点B的坐标为（1，4）．
∵点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{4}{x}$，
∵一次函数y=3x+1的图象与y轴交于点A，
∴当x=0时，y=1，
∴点A的坐标为（0，1），
∵AC⊥y轴，
∴点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，是1，
∵点C在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴当y=1时，1=$\frac{4}{x}$，解得x=4，
∴AC=4．
过B作BD⊥AC于D，则BD=y_B-y_C=4-1=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×4×3=6；

（2）由图形得：∵当0＜x＜1时，$\frac{4}{y}＜1$，
∴y＞4，
当x＜0时，y＜0．

点评本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，平行于y轴的直线上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．求出反比例函数的解析式是解题的关键．

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