Question

11．如图，四边形ABCD中，∠BAC=∠BCD=90°，若AC平分∠BCD，求证：AB=AD．

Answer 1

分析 过A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，根据角平分线的性质得到AM=AN，根据余角的性质得到∠BAM=∠DAN，于是得到△ABM≌△ADN，由全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：过A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，
∴∠AMB=∠AND=90，AM=AN，
∵∠BCD=90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴∠MAN=90°，
∴∠MAN=∠BAD，
∴∠BAM=∠DAN，
在△ABM与△AND中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠DAN}\\{AM=AN}\\{∠AMB=∠AND}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADN，
∴AB=AD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．