Question

6．（1）已知方程x²-3x-1=0的两根为x₁和x₂，求（x₁-3）（x₂-3）的值．
（2）若关于x的一元二次方程x²-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用韦达定理求得x₁+x₂ 和x₁x₂的值，再根据（x₁-3）（ x₂-3）=x₁ x₂ -3（x₁+x₂）+9，计算求得结果．
（2）一元二次方程x²-x+a-4=0的一根大于零，另一根小于零，则根的判别式大于0，两根之积小于0，解不等式即可．

解答 解：（1）∵方程x²-3x-1=0的两根为x₁和x₂，
∴x₁+x₂ =3，x₁x₂=-1，
故（x₁-3）（ x₂-3）=x₁ x₂ -3（x₁+x₂）+9=-1-3×3+9=-1．
（2）根据题意，得：$\left\{\begin{array}{l}{1-4（a-4）＞0}\\{a-4＜0}\end{array}\right.$，
解得：a＜4．
所以若关于x的一元二次方程x²-x+a-4=0的一根大于零，另一根小于零时，实数a的取值范围为：a＜4．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解和根与系数的关系．