Question

3．已知BD、CE分别是△ABC的AC边、AB边上的高，M是BC边的中点，分别联结MD、ME、DE．

（1）当∠BAC＜90°时，垂足D、E分别落在边AC、AB上，如图1，求证：DM=EM．
（2）若∠BAC=135°，试判断△DEM的形状，简写解答过程．
（3）当∠BAC＞90°时，设∠BAC的度数为x，∠DME的度数为y，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件知，MD是Rt△BCD斜边BC上的中线，ME是Rt△BCE斜边BC上的中线，所以根据直角三角形斜边上的中线的性质进行证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠DBM=∠BDM，∠MEC=∠MCE，由三角形的外角的性质得到∠BME=2∠BCE，∠CMD=2∠DBM，根据三角形的内角和得到∠DBC+∠ECM=45°，即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到∠DBM=∠BDM，∠MEC=∠MCE，由三角形的外角的性质得到∠BME=2∠BCE，∠CMD=2∠DBM，根据三角形的内角和得到∠DBC+∠ECM=180°-x，根据平角的定义即可得到结论．

解答 （1）证明：∵BD、CE是△ABC的两条高，M是BC的中点，
∴在Rt△BDC中，MD是斜边BC上的中线，
∴MD=$\frac{1}{2}$BC；
同理，得
ME=$\frac{1}{2}$BC，
∴ME=MD；

（2）∵BM=CM=DM=EM，
∴∠DBM=∠BDM，∠MEC=∠MCE，
∴∠BME=2∠BCE，∠CMD=2∠DBM，
∵∠BAC=135°，
∴∠DBC+∠ECM=45°，
∴∠BME+∠CMD=90°，
∴∠DME=90°，
∴△DEM是等腰直角三角形；

（3）∵BM=CM=DM=EM，
∴∠DBM=∠BDM，∠MEC=∠MCE，
∴∠BME=2∠BCE，∠CMD=2∠DBM，
∵∠BAC=x，
∴∠DBC+∠ECM=180°-x，
∴∠BME+∠CMD=360°-2x，
∴∠DME=180°-（∠BME+∠CMD）=2x-180°，
即y=2x-180°．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定，三角形的内角和，三角形外角的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．