Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B，C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB，AE，CD于点M，P，N．小聪过点B作BF∥MN分别交AE，CD于点G，F后，猜想线段EC，DN，MB之间的数量关系为EC＝DN＋MB．他的猜想正确吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】正确，理由见解析

【解析】

先证明四边形MBFN是平等四边形，从而得到MB＝NF；根据ASA证明△ABE≌△BCF，从而得到BE＝CF，则有DF＝EC，再根据DF＝NF+DN和MB＝NF可得到EC＝DN+MB．

∵四边形ABCD是正方形，

∴MB//NF，∠C＝∠ABC，AB//DC，∠BFC+∠CBF＝90，AB＝BC，

又∵MN//BF，

∴四边形MBFN是平行四边形，∠AMP＝∠ABF，

∴MB＝NF，

∵AB//DC，

∴∠BFC=∠ABF，

又∵∠AMP＝∠ABF，

∴∠AMP＝∠BFC，

∵MN⊥AE，

∴∠APM是直角，则∠AMP+∠MAE＝90，

又∵∠BFC+∠CBF＝90，

∴∠MAE＝CBF，

在△ABE和△BCF中

，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴BE＝CF，

∴CE＝DF

又∵DF＝NF+DN（由图可得），MB＝NF（已证）

∴CE＝DF＝DN+MB，即CE＝DN+MB．