Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是过点A的⊙O的切线上一点，连接OC，过点A作OC的垂线交OC于点D，交⊙O于点E，连接CE．

（1）求证：CE与⊙O相切；

（2）连结BD并延长交AC于点F，若OA=5，sin∠BAE=，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OE、BE，先证明OD∥BE，得到OC垂直平分AE，再证明△AOC≌△EOC，求出∠CEO=∠CAO=90°，即可得到结论；

（2）作DM⊥AB于M，先利用三角函数求出BE得到AE，根据垂径定理求出AD，根据三角函数求出DM，利用勾股定理求出AM得到BM，根据DM∥AF证明△DMB∽△FAB，列比例线段由此求出AF.

（1）连接OE、BE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵AE⊥OC，

∴∠ADO=∠AEB=90°，

∴OD∥BE，

∵OA=OB，

∴AD=DE，

∴OC垂直平分AE，

∴AC=CE，

∴△AOC≌△EOC，

∴∠CEO=∠CAO=90°，

即OE⊥CE，

∴CE与⊙O相切；

（2）作DM⊥AB于M，

∵OA=5，

∴AB=10，

∵sin∠BAE=，

∴,

∴,

∴，

∴DM=，

∴,

∵OA=5，

∴OM=1，

∴BM=6，

∵AC是⊙O的切线，

∴∠CAB=∠DMB=90°，

∴DM∥AF，

∴△DMB∽△FAB，

∴，

∴，

∴AF=.