Question

如图，已知一次函数y=kx+b（k、b为常数）的图象与反比例函数（m为常数，m≠0）的图象相交于点 A（1，3）、B（n，-1）两点．
（1）求上述两个函数的解析式；
（2）如果M为x轴正半轴上一点，N为y轴负半轴上一点，以点A，B，N，M为顶点的四边形是平行四边形，求直线MN的函数解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）将A（1，3）代入中，求m的值，再将B（n，-1）所求反比例函数关系式求n的值，把A、B两点代入一次函数y=kx+b中，解方程组求k、b的值，确定两个函数解析式；
（2）运用平移法：根据A点纵坐标，B点横坐标可知：线段NM可看作由线段AB向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到的，根据平移与点的坐标的关系，分别求A、B平移后对应点M、N的坐标，求直线MN的解析式．
解答：解：（1）因为点A（1，3）在反比例数的图象上，
故，即m=3，
所以该反比例函数的解析式为，
所以点B的坐标为（-3，-1），
因为点A、B在一次函数y=nx+m的图象上，
故，解得
所以该一次函数的解析式为y=x+2；

（2）方法一
∵M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的负半轴上，四边形ANMB为平行四边形，
∴线段NM可看作由线段AB向右平移3个单位，
再向下平移3个单位得到的，
（也可看作向下平移3个单位，再向右平移3个单位得到的）．
由A（1，3），得M点坐标为（1+3，3-3），
即M（4，0）
由B（-3，-1），得N点坐标为（-3+3，-1-3），
即N₁（0，-4）
设直线M₁N₁的函数解析式为y=k₁x-4，
把x=4，y=0代入，解得k₁=1．
∴直线MN的函数解析式为y=x-4；
方法二
设MN的函数解析式是y=k₁x+b₁
∵四边形ABMN为平行四边形，故MN∥AB，所以k₁=1，
分别过点A、B作AP∥y轴，CP∥x轴交于点P，易证△APB≌△MON，
ON=PB=|-3|+1=4，又因N在y轴的负半轴上，故b₁=-4，
所以直线MN的函数解析式为y=x-4．
点评：此题综合考查了反比例函数、一次函数的解析式求法，平移及平行四边形的性质．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．