Question

2．两个半径为1的⊙O₁与⊙O₂相外切，又同时分别与⊙O相切，切点分别为A、B、C且∠O=90°，则$\widehat{AB}$$+\widehat{BC}$$+\widehat{AC}$的长为（　　）

• A． $\sqrt{2}$π
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$π
• C． $\frac{2\sqrt{2}-1}{4}$π
• D． 2π

Answer 1

分析 根据题意和相切两圆的性质得出OO₁=OO₂=OC+1，O₁ O₂=O₁ A+O₂ A=2，证出△OO₁O₂是等腰直角三角形，得出OO₁=$\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{2}$-1，由弧长公式即可得出结果．

解答 解：如图所示：连接OO₁、O${\;}_{{\;}_{1}}$O₂、OO₂，
根据题意得：OO₁=OO₂=OC+1，O₁ O₂=O₁ A+O₂ A=2，
∵∠O=90°，
∴∠AO₁C+∠AO₂B=90°，△OO₁O₂是等腰直角三角形，
∴OO₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∴OC=$\sqrt{2}$-1，
∴$\widehat{AB}$$+\widehat{BC}$$+\widehat{AC}$的长=$\frac{90π×1}{180}$+$\frac{90π（\sqrt{2}-1）}{180}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$π．
故选：B．

点评 本题考查了相切两圆的性质、等腰直角三角形的判定与性质、弧长公式；熟练掌握两圆的性质，求出⊙O的半径是解决问题的关键．