[题目]平面直角坐标系中.平行四边形ABOC如图放置.点A.C的坐标分别是为(0,3).(-1,0).将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°.得到平行四边形A′B′OC′.(1)若抛物线过点C.A.A′.求此抛物线的解析式, (2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△OC′D的周长, (3)点M是第一象限内抛物线上的一动点.问:点M在何处时,△AMA′的面积最大?最大面积是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是为（0,3）、（-1,0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.

（1）若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；

（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△OC′D的周长；

（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时；△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标.

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）；（3）当点M的坐标为（，）时，△AMA′的面积有最大值，且最大值为.

【解析】

（1）根据旋转的性质，可得A′点，根据待定系数法，可得答案；

（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案；

（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

（1）∵A′B′O′C′由ABOC旋转得到，且A的坐标为（0，3），得

点A′的坐标为（3，0）．

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

将A，A′C的坐标代入，得

，解得，

抛物线的解析式y=-x2+2x+3；

（2）∵AB∥OC，

∴∠OAB=∠AOC=90°，

∴OB=，

又∠OC′D=∠OCA=∠B，∠C′OD=∠BOA，

∴△C′OD∽△BOA，又OC′=OC=1，

∴，

又△ABO的周长为4+，

∴△C′OD的周长为．

（3）作MN⊥x轴交AA′于N点，

设M（m，-m2+2m+3），

AA′的解析式为y=-x+3，N点坐标为（m，-m+3），MN的长为-m2+3m，

S△AMA′=MNxA′=（-m2+3m）×3

=-（m2-3m）=-（m-）2+，

∵0＜m＜3，

∴当m=时，-m2+2m+3=，M（，），

△AMA′的面积有最大值．

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