Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=∠ACB．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若D为AB的中点，P为CD上的点，Q为PC的中点，且PE⊥AC于点E，QF⊥BC于点F，试求的立方根．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A=∠ACB，
∴∠A=∠ACB=∠ABC，
∴△ABC是等边三角形；

（2）解：∵D为AB的中点，
∴∠ACD=∠BCD=×60°=30°，
∵PE⊥AC，QF⊥BC，
∴PE=PC，QF=CQ，
∵Q为PC的中点，
∴CQ=PC，
∴PE=2QF，
∴==8，
∴的立方根是2．
分析：（1）根据等边对等角的性质可得∠ABC=∠ACB，再根据三个角相等的三角形是等边三角形证明即可；
（2）先求出∠ACD=∠BCD=30°，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出PE、QF，然后根据点Q是PC的中点求出可得PC=2CQ，求出的值，再利用立方根的定义解答即可．
点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，立方根的定义，比较简单，熟记性质与定义是解题的关键．