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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(1,0),直线y=2x﹣1与y轴交于点C,与抛物线交于点C、D.

(1)求抛物线的解析式;

(2)求点A到直线CD的距离;

(3)平移抛物线,使抛物线的顶点P在直线CD上,抛物线与直线CD的另一个交点为Q,点G在y轴正半轴上,当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时,求出所有符合条件的G点的坐标.

【答案】(1)抛物线的解析式为:y=x2﹣1.(2)点A到直线CD的距离为(3)符合条件的点G有两个,其坐标为(0,4)或(0,9).

【解析】

试题分析:(1)首先求出点C坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式;

(2)设直线CD与x轴交于点E,求出点E的坐标,然后解直角三角形(或利用三角形相似),求出点A到直线CD的距离;

(3)GPQ为等腰直角三角形,有三种情形,需要分类讨论.为方便分析与计算,首先需要求出线段PQ的长度.

方法一:

解:(1)直线y=2x﹣1,当x=0时,y=﹣1,则点C坐标为(0,﹣1).

设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,

点A(﹣1,0)、B(1,0)、C(0,﹣1)在抛物线上,

解得

抛物线的解析式为:y=x2﹣1.

(2)如答图2所示,直线y=2x﹣1,

当y=0时,x=

设直线CD交x轴于点E,则E(,0).

在RtOCE中,OC=1,OE=

由勾股定理得:CE=

OEC=θ,则sinθ=,cosθ=

过点A作AFCD于点F,

则AF=AEsinθ=(OA+OE)sinθ=(1+)×=

点A到直线CD的距离为

(3)平移后抛物线的顶点P在直线y=2x﹣1上,

设P(t,2t﹣1),则平移后抛物线的解析式为y=(x﹣t)2+2t﹣1.

联立

化简得:x2﹣(2t+2)x+t2+2t=0,

解得:x1=t,x2=t+2,

即点P、点Q的横坐标相差2,

PQ===

GPQ为等腰直角三角形,可能有以下情形:

i)若点P为直角顶点,如答图3①所示,

则PG=PQ=

CG====10,

OG=CG﹣OC=10﹣1=9,

G(0,9);

ii)若点Q为直角顶点,如答图3②所示,

则QG=PQ=

同理可得:G(0,9);

iii)若点G为直角顶点,如答图3③所示,

此时PQ=

则GP=GQ=

分别过点P、Q作y轴的垂线,垂足分别为点M、N.

易证RtPMGRtGNQ

GN=PM,GM=QN.

在RtQNG中,

由勾股定理得:GN2+QN2=GQ2

即PM2+QN2=10 ①

点P、Q横坐标相差2,

NQ=PM+2

代入①式得:PM2+(PM+2)2=10,

解得PM=1,

NQ=3

直线y=2x﹣1,

当x=1时,y=1,

P(1,1),

即OM=1.

OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4,

G(0,4).

综上所述,符合条件的点G有两个,其坐标为(0,4)或(0,9).

方法二:

(1)略.

(2)作AFCD,垂足为F,KCD×KAF=﹣1,

KCD=2,KAF=﹣

A(﹣1,0),lAF:y=﹣x﹣

lCD:y=2x﹣1,

lAF与lCD的交点坐标F(,﹣),

AF=

(3)平移后抛物线的顶点P在直线y=2x﹣1上,设P(t,2t﹣1),

则平移后抛物线的解析式为y=(x﹣t)2+2t﹣1,

抛物线与直线的交点P(t,2t﹣1),Q(t+2,2t+3),

以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形.

①点G可视为点Q绕点P逆时针旋转90°而成,将P点平移至原点P′(0,0),

则Q′(2,4),将Q′点绕原点逆时针旋转90°,则G′(﹣4,2),

将P′平移至P点,则G′平移后即为G(﹣4+t,2t+1),

GX=0,t=4G1(0,9),

②同理可得G2(0,9),

③点P可视为点Q绕点G顺时针旋转90°而成,设G(0,b),

将G平移至原点,G′(0,0),则Q′(t+2,2t+3﹣b),

将Q′绕原点顺时针旋转90°,则P′(2t+3﹣b,﹣t﹣2),

将G′平移至G点,则P′平移后即为P(2t+3﹣b,﹣t﹣2+b),

2t+3﹣b=t,﹣t﹣2+b=2t﹣1,t=1,b=4,

G3(0,4),

综上所述,满足题意的点G1(0,9),G2(0,4).

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