【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(1,0),直线y=2x﹣1与y轴交于点C,与抛物线交于点C、D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点A到直线CD的距离;
(3)平移抛物线,使抛物线的顶点P在直线CD上,抛物线与直线CD的另一个交点为Q,点G在y轴正半轴上,当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时,求出所有符合条件的G点的坐标.
【答案】(1)抛物线的解析式为:y=x2﹣1.(2)点A到直线CD的距离为.(3)符合条件的点G有两个,其坐标为(0,4)或(0,9).
【解析】
试题分析:(1)首先求出点C坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)设直线CD与x轴交于点E,求出点E的坐标,然后解直角三角形(或利用三角形相似),求出点A到直线CD的距离;
(3)△GPQ为等腰直角三角形,有三种情形,需要分类讨论.为方便分析与计算,首先需要求出线段PQ的长度.
方法一:
解:(1)直线y=2x﹣1,当x=0时,y=﹣1,则点C坐标为(0,﹣1).
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
∵点A(﹣1,0)、B(1,0)、C(0,﹣1)在抛物线上,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为:y=x2﹣1.
(2)如答图2所示,直线y=2x﹣1,
当y=0时,x=;
设直线CD交x轴于点E,则E(,0).
在Rt△OCE中,OC=1,OE=,
由勾股定理得:CE=,
设∠OEC=θ,则sinθ=,cosθ=.
过点A作AF⊥CD于点F,
则AF=AEsinθ=(OA+OE)sinθ=(1+)×=,
∴点A到直线CD的距离为.
(3)∵平移后抛物线的顶点P在直线y=2x﹣1上,
∴设P(t,2t﹣1),则平移后抛物线的解析式为y=(x﹣t)2+2t﹣1.
联立,
化简得:x2﹣(2t+2)x+t2+2t=0,
解得:x1=t,x2=t+2,
即点P、点Q的横坐标相差2,
∴PQ===.
△GPQ为等腰直角三角形,可能有以下情形:
i)若点P为直角顶点,如答图3①所示,
则PG=PQ=.
∴CG====10,
∴OG=CG﹣OC=10﹣1=9,
∴G(0,9);
ii)若点Q为直角顶点,如答图3②所示,
则QG=PQ=.
同理可得:G(0,9);
iii)若点G为直角顶点,如答图3③所示,
此时PQ=,
则GP=GQ=.
分别过点P、Q作y轴的垂线,垂足分别为点M、N.
易证Rt△PMG≌Rt△GNQ,
∴GN=PM,GM=QN.
在Rt△QNG中,
由勾股定理得:GN2+QN2=GQ2,
即PM2+QN2=10 ①
∵点P、Q横坐标相差2,
∴NQ=PM+2,
代入①式得:PM2+(PM+2)2=10,
解得PM=1,
∴NQ=3.
直线y=2x﹣1,
当x=1时,y=1,
∴P(1,1),
即OM=1.
∴OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4,
∴G(0,4).
综上所述,符合条件的点G有两个,其坐标为(0,4)或(0,9).
方法二:
(1)略.
(2)作AF⊥CD,垂足为F,∴KCD×KAF=﹣1,
∵KCD=2,∴KAF=﹣,
∵A(﹣1,0),∴lAF:y=﹣x﹣,
∵lCD:y=2x﹣1,
∴lAF与lCD的交点坐标F(,﹣),
∴AF=.
(3)∵平移后抛物线的顶点P在直线y=2x﹣1上,设P(t,2t﹣1),
则平移后抛物线的解析式为y=(x﹣t)2+2t﹣1,
∴抛物线与直线的交点P(t,2t﹣1),Q(t+2,2t+3),
以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形.
①点G可视为点Q绕点P逆时针旋转90°而成,将P点平移至原点P′(0,0),
则Q′(2,4),将Q′点绕原点逆时针旋转90°,则G′(﹣4,2),
将P′平移至P点,则G′平移后即为G(﹣4+t,2t+1),
∵GX=0,∴t=4,∴G1(0,9),
②同理可得G2(0,9),
③点P可视为点Q绕点G顺时针旋转90°而成,设G(0,b),
将G平移至原点,G′(0,0),则Q′(t+2,2t+3﹣b),
将Q′绕原点顺时针旋转90°,则P′(2t+3﹣b,﹣t﹣2),
将G′平移至G点,则P′平移后即为P(2t+3﹣b,﹣t﹣2+b),
∴2t+3﹣b=t,﹣t﹣2+b=2t﹣1,∴t=1,b=4,
∴G3(0,4),
综上所述,满足题意的点G1(0,9),G2(0,4).
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【题目】与在平面直角坐标系中的位置如图.
⑴分别写出下列各点的坐标: ; ; ;
⑵说明由经过怎样的平移得到? .
⑶若点(,)是内部一点,则平移后内的对应点的坐标为 ;
⑷求的面积.
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【题目】如图,在边长为1的小正方形组成的方格纸上将△ABC绕点A顺时针旋转90°.
(1)画出旋转后的△AB′C′;
(2)以点C为坐标原点,线段BC、AC所在直线分别为x轴,y轴建立直角坐标系,请直接写出点B′的坐标 ;
(3)写出△ABC在旋转过程中覆盖的面积 .
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【题目】如图,PA,PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA,PB于C, D.若⊙O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是( )
A. B. C. D.
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【题目】连接AB,直线AB与x轴交于点C,与y轴交于点D,平面内有一点E(3,1),直线BE与x轴交于点F.直线AB的解析式记作y1=kx+b,直线BE解析式记作y2=mx+t.求:
(1)直线AB的解析式△BCF的面积;
(2)当x 时,kx+b>mx+t;
当x 时,kx+b<mx+t;
当x 时,kx+b=mx+t;
(3)在x轴上有一动点H,使得△OBH为等腰三角形,求H的坐标.
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