Question

【题目】如图，已知△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点F．

（1）求证：△ABE≌△CAD；

（2）若BP⊥AD于点P，PF=9，EF=3，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AD=21.

【解析】试题分析：(1)根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAE=∠ACD，结合AE=CD得出三角形全等；(2)根据全等得出BE=AD，∠ABE=∠CAD，结合外角的性质得出∠BFP=60°，然后根据直角三角形的性质得出BF的长度，最后根据AD=BE=BF+EF得出答案．

试题解析：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠ACD，又∵AE=CD，

∴△ABE≌△CAD；

(2)∵△ABE≌△CAD， ∴BE=AD，∠ABE=∠CAD，

∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP， 即∠BFP=∠BAC=60°，

又∵BP⊥AD，∴∠BPF=90°， ∴∠FBP=30°， ∴BF=2PF=18，

∴AD=BE=BF+EF=18+3=21．