【题目】如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论:
①△BDE∽△DPE;②=
;③DP2=PHPB;④tan∠DBE=2﹣
.
其中正确的是( )
A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.①③④
【答案】D
【解析】
试题分析:根据等边三角形的性质和正方形的性质,得到∠PCD=30°,于是得到∠CPD=∠CDP=75°,证得∠EDP=∠PBD=15°,于是得到△BDE∽△DPE,故①正确由于∠FDP=∠PBD,∠DFP=∠BPC=60°,推出△DFP∽△BPH,得到=
=
故②错误;由于∠PDH=∠PCD=30°,∠DPH=∠DPC,推出△DPH∽△CPD,得到
,PB=CD,等量代换得到PD2=PHPB,故③正确;过P作PM⊥CD,PN⊥BC,设正方形ABCD的边长是4,△BPC为正三角形,于是得到∠PBC=∠PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,求得∠PCD=30°,根据三角函数的定义得到CM=PN=PBsin60°=4×
=2
,PM=PCsin30°=2,由平行线的性质得到∠EDP=∠DPM,等量代换得到∠DBE=∠DPM,于是求得tan∠DBE=tan∠DPM=
=
=2﹣
,故④正确.
解:∵△BPC是等边三角形,
∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°,
在正方形ABCD中,
∵AB=BC=CD,∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°,
∴∠CPD=∠CDP=75°,∴∠PDE=15°,
∵∠PBD=∠PBC﹣∠HBC=60°﹣45°=15°,
∴∠EBD=∠EDP,
∵∠DEP=∠DEB,
∴△BDE∽△DPE;故①正确;
∵PC=CD,∠PCD=30°,
∴∠PDC=75°,
∴∠FDP=15°,
∵∠DBA=45°,
∴∠PBD=15°,
∴∠FDP=∠PBD,
∵∠DFP=∠BPC=60°,
∴△DFP∽△BPH,
∴=
=
=
,故②错误;
∵∠PDH=∠PCD=30°,
∵∠DPH=∠DPC,
∴△DPH∽△CDP,
∴=
,
∴PD2=PHCD,
∵PB=CD,
∴PD2=PHPB,故③正确;
如图,过P作PM⊥D,PN⊥BC,
设正方形ABCD的边长是4,△BPC为正三角形,
∴∠PBC=∠PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,
∴∠PCD=30°
∴CM=PN=PBsin60°=4×=2
,PM=PCsin30°=2,
∵DE∥PM,
∴∠EDP=∠DPM,
∴∠DBE=∠DPM,
∴tan∠DBE=tan∠DPM==
=2﹣
,故④正确;
故答案为:①③④.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标为A(﹣2,3),B(﹣3,2),C(﹣1,1).
(1)若将△ABC向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,请画出平移后的△A1B1C1;
(2)画出△A1B1C1绕原点顺时针旋90°后得到 的△A2B2C2;
(3)若△A′B′C′与△ABC是中心对称图形,则对称中心的坐标为 .
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,则四边形EFGH的周长是__________ .
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】以下列各组线段为边能组成三角形的是( )
A. 1cm,2cm,4cm B. 2cm,3cm,5cm
C. 4cm,6cm,8cm D. 5cm,6cm,12cm
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