Question

已知，如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，BE交AD于O．
（1）求证：△ADC∽△BEC；
（2）求证：△CDE∽△CAB；（3）若∠C=60°，求DE：AB的值．

Answer 1

分析：（1）由条件AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，可以得出∠ADC=∠BEC=90°．从而可以得出△ADC∽△BEC；
（2）由（1）的结论可以得出

AC

BC

=

DC

EC

，进而得出

AC

DC

=

BC

EC

及∠C=∠C就可以得出△CDE∽△CAB；
（3）由（2）的结论可以得出

DC

AC

=

DE

AB

，再由∠C=60°及直角三角形的性质就可以求出

DC

AC

的值，从而求出DE：AB的值．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC．
（2）∵△ADC∽△BEC，
∴

AC

BC

=

DC

EC

，
∴

AC

DC

=

BC

EC

，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB．
（3）∵△CDE∽△CAB，
∴

DC

AC

=

DE

AB

．
∵∠C=60°，∠ADC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴

DC

AC

=

1

2

，
∴

DE

AB

=

1

2

即DE：AB=

1

2

点评：本题考查了垂线的性质，相似三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质的运用．