Question

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2$\sqrt{5}$，BC=4$\sqrt{5}$，D、E分别是边AB、BC的中点，点P从点C出发，沿线段CD方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点P与点D不重合时，以EP、ED为邻边作?EDFP，设点P的运动时间为t（秒）．
（1）求AB长．
（2）当∠DPF=∠PFD时，求t的值．
（3）当点P在线段CD上时，设?EDFP与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位），求y与t之间的函数关系式．
（4）连结AF，当△AFD的面积与△PDE的面积相等时，直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）在RT△ABC中利用勾股定理即可解决问题．
（2）如图1中，当∠DPF=∠PFD时，可以证明PE∥AB，PC=PD，由此即可解决问题．
（3）分两种情形①当0≤t≤$\frac{5}{2}$时，如图2中，作PM⊥DE存在为M，此时重叠部分面积就是平行四边形PEDF的面积，②当$\frac{5}{2}$＜t＜5时，如图3中，此时y=S_△PHD+S_△PDE．
（4）两种情形①t=O时，△ADF与△PDE面积相等．②如图4中，当A、P、E共线时△ADF与△PDE面积相等，由DE∥AC得$\frac{DE}{AC}$=$\frac{PD}{PC}$，求出PC即可．

解答 解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=2$\sqrt{5}$，BC=4$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+（4\sqrt{5}）^{2}}$=10．
（2）如图1中，∵四边形PEDF是平行四边形，
∴PF∥DE，PE∥DF，
∴∠DPF=∠PDE，
∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=DB=DA=5，∵CE=EB，
∴DE⊥BC，∠CDE=∠EDB
∵∠DPF=∠PFD，
∴∠PED=∠BDE，
∴PE∥DB，∵CE=EB，
∴PC=PD=$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{5}{2}$．
（3）①当0≤t≤$\frac{5}{2}$时，如图2中，作PM⊥DE存在为M，
∵PM∥CE，
∴$\frac{PM}{CE}$=$\frac{DP}{DC}$，
∴$\frac{PM}{2\sqrt{5}}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴PM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5-t），
∴Y=DE•PM=$\sqrt{5}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5-t）=-2t+10．
②当$\frac{5}{2}$＜t＜5时，如图3中，∵PH∥AC，
∴$\frac{PH}{AC}$=$\frac{DP}{CD}$，
∴$\frac{PH}{2\sqrt{5}}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴PH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5-t），
∴y=S_△PHD+S_△PDE=$\frac{1}{2}$•PH•PM+$\frac{1}{2}$（-2t+10）=$\frac{2}{5}$t²-5t+15，
综上所述：y=$\left\{\begin{array}{l}{-2t+10}&{（0≤t≤\frac{5}{2}）}\\{\frac{2}{5}{t}^{2}-5t+15}&{（\frac{5}{2}＜t＜5）}\end{array}\right.$．
（4）①t=O时，△ADF与△PDE面积相等．
②如图4中，当A、P、E共线时，
∵AE∥DF，△ADF与△PDF同底等高，
∴S_△ADF=S_△PDF，
∵四边形PFDE是平行四边形，
∴S_△PED=S_△PDF，
∴S_△ADF=S_△PDE，
∵DE∥AC，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{PD}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∴PC=$\frac{2}{3}$CD=$\frac{10}{3}$，
∴t=$\frac{10}{3}$，
∴t=0或$\frac{10}{3}$时，△ADF与△PDE面积相等．

点评 本题考查四边形综合题，平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，正确画出图形，掌握同底等高的三角形面积相等，属于中考常考题型．