Question

20．如图，AB切⊙O于B，BC⊥AO于C，AO交⊙O于D，BO=2，AO=8，P是弧BD上任一点，设k=$\frac{PA}{PC}$，问k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论．

Answer 1

分析 k的值是不会随点P的移动而变化，连接OP，证明△AOB～△BOC，得到$\frac{OA}{OB}=\frac{OB}{OC}$，根据OP=OB，所以$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OC}$，再证明△AOP∽△POC，得到$\frac{PA}{PC}=\frac{OA}{OP}$，即可解答．

解答 解：k的值是不会随点P的移动而变化，
如图，连接OP，

∵AB切⊙O于B，
∴∠AB0=90°，
∵BC⊥AO，
∴∠BCO=90°，
∴△AOB～△BOC，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{OB}{OC}$，
∵OP=OB，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OC}$，
∵∠AOP=∠POC，
∴△AOP∽△POC，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{OA}{OP}$，
∴k=$\frac{PA}{PC}=\frac{OA}{OP}=\frac{OA}{OB}=\frac{8}{2}$=4．

点评 本题考查了切线的性质、相似三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形相似．