Question

5．如图，在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD，BC交于点P，联结CP．
（1）求证：CP平分∠ACB；
（2）如图（1），当△ABC为等边三角形时，求证：EP=DP；
（3）如图（2），当△ABC不是等边三角形，但∠ACB=60°，（2）中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由；如果成立，请证明．

Answer 1

分析 （1）如图1，过P作PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，PH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到PF=PE，PF=PD，等量代换得到PE=PD，根据角平分线的判定即可得到结论；
（2）利用等边三角形的性质可以得到相等的线段和相等的角，进而可以证明EP=DP；
（3）上题的结论仍然成立，并且具有类似的证明方法．

解答 证明：（1）如图1，过P作PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，PH⊥BC于H，
∵AD平分∠BAC，
∴PF=PE，
∵BE平分∠ABC，
∴PF=PD，
∴PE=PD，
∴CP平分∠ACB；

（2）∵△ABC为等边三角形，AD平分∠CAB，
∴PD⊥BC，
同理，PE⊥AC，
作PF⊥AB于F，
∵AD平分∠CAB，PE⊥AC，
∴PE=PF，
同理PD=PF
∴PD=PE；

（2）EP=DP依然成立；
证明：不妨设∠CAB＜∠CBA
如图2，作PH⊥AC于H，PM⊥CB于M，PQ⊥AB于Q，
则点H在线段CE上，点M在线段BD上，
∵∠CAB和∠ACB的平分线AD、BE交于点P，∴PH=PQ=PM，
∵∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°，∠ACB=60°，
∴∠CAB+∠ABC=120°，
∵AD、BE分别平分∠CAB、∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=60°，
∵∠CEP=∠CAP+∠PAB+∠PBA=∠CAP+60°，
∠ADB=∠CAP+∠ACD=∠CAP+60°，
∴∠CEP=∠ADB，
在△PHE和△PMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HEP=∠MDP}\\{∠EHP=∠DMP}\\{PH=PM}\end{array}\right.$，
∴△PHE≌△PMD，
∴PE=PD．

点评 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是正确的利用等边三角形的性质．