Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，3）两点．

（1）试求抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）动点E从O点沿OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时动点F沿AB方向以 个单位/秒的速度向终点B匀速运动，E、F任意一点到达终点时另一个点停止运动，连接EF，设运动时间为t，当t为何值时△AEF为直角三角形？
（3）抛物线位于第一象限的图象上是否存在一点P，使△PAB面积最大？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c（a≠0）经过A（3，0），B（0，3），

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，

设直线y=kx+n，

∴ ，解得 ，

∴直线AB的解析式为y=x+3

（2）

解：由题意可知OE=t，则AF= t，AE=3﹣t，

∵△AEF为直角三角形，

∴有∠AEF=90°和∠AFE=90°两种情况，

①当∠AEF=90°时，则有△AOB∽△AEF，

∴ = ，即 = ，解得t= ；

②当∠AFE=90°时，则有△AOB∽△AFE，

∴ = ，即 = ，解得t=1；

综上可知当t为 或1时△AEF为直角三角形

（3）

解：如图，过P作PC∥y，AB于点C，交x轴于点D，

设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），则C（x，﹣x+3），

∵P为抛物线在第一象限内的点，

∴PC=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，

∴S△PAB=S△PBC+S△PAC= PCOD+ PCAD= PCOA= PC= （﹣x2+3x）=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴当x= 时，S△PAB有最大值 ，此时P点坐标为（ ， ），

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（ ， ）

【解析】（1）根据A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线和直线AB的解析式；（2）骼t可表示出OE、AF、AE的长，分∠AEF=90°和∠AFE=90°两种情况，可分别证明△AOB∽△AEF和△AOB∽△AFE，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）过P作PC∥y，AB于点C，交x轴于点D，可设出P点坐标，用P点坐标可表示也PC的长，从而可表示出△PAB的面积，根据二次函数的性质可求得其取得最大值时P点的坐标．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)，还要掌握相似三角形的性质(对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形)的相关知识才是答题的关键．