【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c(a≠0)与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、B(0,3)两点.
(1)试求抛物线的解析式和直线AB的解析式;
(2)动点E从O点沿OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动,同时动点F沿AB方向以 个单位/秒的速度向终点B匀速运动,E、F任意一点到达终点时另一个点停止运动,连接EF,设运动时间为t,当t为何值时△AEF为直角三角形?
(3)抛物线位于第一象限的图象上是否存在一点P,使△PAB面积最大?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵抛物线y=﹣x2+bx+c(a≠0)经过A(3,0),B(0,3),
∴ ,解得
,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3,
设直线y=kx+n,
∴ ,解得
,
∴直线AB的解析式为y=x+3
(2)
解:由题意可知OE=t,则AF= t,AE=3﹣t,
∵△AEF为直角三角形,
∴有∠AEF=90°和∠AFE=90°两种情况,
①当∠AEF=90°时,则有△AOB∽△AEF,
∴ =
,即
=
,解得t=
;
②当∠AFE=90°时,则有△AOB∽△AFE,
∴ =
,即
=
,解得t=1;
综上可知当t为 或1时△AEF为直角三角形
(3)
解:如图,过P作PC∥y,AB于点C,交x轴于点D,
设P(x,﹣x2+2x+3)(0<x<3),则C(x,﹣x+3),
∵P为抛物线在第一象限内的点,
∴PC=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x,
∴S△PAB=S△PBC+S△PAC= PCOD+
PCAD=
PCOA=
PC=
(﹣x2+3x)=﹣
(x﹣
)2+
,
∵﹣ <0,
∴当x= 时,S△PAB有最大值
,此时P点坐标为(
,
),
综上可知存在满足条件的点P,其坐标为( ,
)
【解析】(1)根据A、B两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线和直线AB的解析式;(2)骼t可表示出OE、AF、AE的长,分∠AEF=90°和∠AFE=90°两种情况,可分别证明△AOB∽△AEF和△AOB∽△AFE,利用相似三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值;(3)过P作PC∥y,AB于点C,交x轴于点D,可设出P点坐标,用P点坐标可表示也PC的长,从而可表示出△PAB的面积,根据二次函数的性质可求得其取得最大值时P点的坐标.
【考点精析】认真审题,首先需要了解二次函数的性质(增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小),还要掌握相似三角形的性质(对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形)的相关知识才是答题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线EF交x,y轴子点F,E,交反比例函数(x>0)图象于点C,D,OE=OF=
,以CD为边作矩形ABCD,顶点A与B恰好落在y轴与x轴上.
(1)若矩形ABCD是正方形,求CD的长;
(2)若AD:DC=2:1,求k的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分别是BC、AD的中点,连接AE、CF
(1)填空∠B=_______°;
(2)求证:四边形AECF是矩形.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8 cm,AD=24 cm,BC=26 cm.点P从A出发,以1 cm/s的速度向点D运动,点Q从点C同时出发,以3 cm/s的速度向点B运动,规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.从运动开始,使PQ=CD需要__________秒
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线y=x交于点E,点E的横坐标为3
(1) 求点A的坐标
(2) 在x轴上有一点P(m,0),过点P作x轴的垂线,与直线交于点C,与直线y=x 交于点D.若CD≥4,则m的取值范围为___________________
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直线y=kx+6分别与x轴、y轴交于点E,F,已知点E的坐标为(-8,0),点A的坐标为(-6,0).
(1)求k的值;
(2)若点P(x,y)是该直线上的一个动点,探究:当△OPA的面积为27时,求点P的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】完成下面的证明:如图,点D,E,F分别是三角形ABC的边BC,CA,AB上的点,连接DE,DF,DE∥AB,∠BFD=∠CED,连接BE交DF于点G,求证:∠EGF+∠AEG=180°.
证明:∵DE∥AB(已知),
∴∠A=∠CED( )
又∵∠BFD=∠CED(已知),
∴∠A=∠BFD( )
∴DF∥AE( )
∴∠EGF+∠AEG=180°( )
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.
(1)求证:PB为⊙O的切线;
(2)若tan∠ABE= ,求sin∠E.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com