Question

4．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，BC=3，在线段AB上取一点P，过点P作AC的平行线交BC于点E，连结EO并延长交AD于点F，连接PF．
（1）求证：PF∥BD；
（2）设AP的长为x，△PEF的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质求得AD∥BC，OA=OC，AD=BC，然后通过ASA证得△AOF≌△COE，得出AF=CE，DF=BE，然后通过平行线分线段长比例定理求得$\frac{PB}{PA}$=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{DF}{AF}$，即可证得PF∥BD．
（2）根据S_△PEF=S_梯形ABEF-S_△APF-S_△PBE即可求得．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OA=OC，AD=BC，
∴∠OAF=∠OCE，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠OCE}\\{OA=OC}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，
∴DF=BE，
∵PE∥AC，
∴△PBE∽△ABC，
∴$\frac{PB}{PA}$=$\frac{BE}{CE}$，
∴$\frac{PB}{PA}$=$\frac{DF}{AF}$，
∴PF∥BD．
（2）∵PF∥BD，
∴$\frac{PA}{AB}$=$\frac{FA}{AD}$，
∵AB=4，BC=3，AP的长为x，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{FA}{3}$，
∴FA=$\frac{3}{4}$x，
∵FA=CE，
∴BE=4-CE=3-$\frac{3}{4}$x，
∴S_△PEF=S_梯形ABEF-S_△APF-S_△PBE=$\frac{1}{2}$（AF+BE）•AB-$\frac{1}{2}$AF•AP-$\frac{1}{2}$PB•PE，
即y=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$x•x-$\frac{1}{2}$（4-x）（3-$\frac{3}{4}$x）=-$\frac{3}{4}$x²+3x，
∴y=-$\frac{3}{4}$x²+3x．（0＜x＜4）．

点评 本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，梯形的面积以及三角形的面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键．