Question

已知直线l：y=mx-m²（m＞0）与抛物线y=ax²有唯一公共点A，求抛物线的解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题

分析：根据两函数图象的交点问题得到ax²=mx-m²，整理得ax²-mx+m²=0，由于两函数图象有有唯一公共点，则此方程有两个相等的实数解，根据判别式的意义得到△=m²-4a•m²=0，然后求出a的值，从而得到抛物线的解析式．

解答：解：根据题意得ax²=mx-m²，
整理得ax²-mx+m²=0，
因为直线l：y=mx-m²（m＞0）与抛物线y=ax²有唯一公共点A，
所以△=m²-4a•m²=0，解得a=

1

4

，
所以抛物线的解析式为y=

1

4

x²．

点评：本题考查了二次函数的性质：y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-b2a，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．