Question

如图，AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，BE、AD相交于点G，下列4个结论：①DF∥GE；②DF：BG=2：3；③AG=GD；④S_△BGD=S_{四边形EFDG}；其中正确的有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：根据三角形中位线的定义以及性质定理、平行线分线段成比例定理进行证明．
解答：解：如右图所示，
①∵AD是△ABC中线，
∴D是BC中点，
∵EF=FC，
∴F是CE中点，
∴DF是△CBE的中位线，
∴DF∥BE，
即DF∥GE，
故此选项正确；
②由①得DF∥GE，
又∵AE=EF，
∴AE：EF=AG：DG，
∴AG=DG，
∴EG是△ADF的中位线，
∴DF=GE，
由①知DF是△CBE的中位线，
∴DF=BE，
∴BG=DF，
∴DF：BG=2：3，
此选项正确；
③由②知AG=DG，
此选项正确；
④连接GF，设BE、DF之间的距离是h，
根据题意，得
S_△BDG=BG•h，S_{四边形EFDG}=S_△DFG+S_△EGF=DF•h+EG•h，
又∵DF：BG=2：3，DF=GE，
∴S_△BDG=DF•h，S_{四边形EFDG}=DF•h，
∴S_△BDG=S_{四边形EFDG}，
此选项正确．
故选D．
点评：本题考查了三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理．解题的关键是证明DF是△CBE的中位线，EG是△ADF的中位线．