Question

17．如图，△ABC中，BC=a．
（1）若AD₁=$\frac{1}{3}$AB，AE₁=$\frac{1}{3}$AC，则D₁E₁=$\frac{1}{3}$a；
（2）若D₁D₂=$\frac{1}{3}$D₁B，E₁E₂=$\frac{1}{3}$E₁C，则D₂E₂=$\frac{5}{9}$a；
（3）若D₂D₃=$\frac{1}{3}$D₂B，E₂E₃=$\frac{1}{3}$E₂C，则D₃E₃=$\frac{19}{29}$a．

Answer 1

分析 （1）由于$\frac{A{D}_{1}}{AB}$=$\frac{A{E}_{1}}{AC}$=$\frac{1}{3}$，加上公共∠A，则可判断△AD₁E₁∽△ABC，利用相似比可计算出D₁E₁=$\frac{1}{3}$a；
（2）由于D₁B=$\frac{2}{3}$AB，D₁D₂=$\frac{1}{3}$D₁B，则D₁D₂=$\frac{2}{9}$AB，所以AD₂=AD₁+D₁D₂=$\frac{5}{9}$AB，同理可得AE₂=$\frac{5}{9}$AC，与（1）一样可证明△AD₂E₂∽△ABC，利用相似比可计算出D₂E₂；
（3）与（2）的方法相同．

解答 解：（1）∵AD₁=$\frac{1}{3}$AB，AE₁=$\frac{1}{3}$AC，
∴$\frac{A{D}_{1}}{AB}$=$\frac{A{E}_{1}}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
而∠D₁AE₁=∠BAC，
∴△AD₁E₁∽△ABC，
∴$\frac{{D}_{1}{E}_{1}}{BC}$=$\frac{A{D}_{1}}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴D₁E₁=$\frac{1}{3}$a；
（2）∵D₁B=$\frac{2}{3}$AB，D₁D₂=$\frac{1}{3}$D₁B，
∴D₁D₂=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$AB=$\frac{2}{9}$AB，
∴AD₂=AD₁+D₁D₂=$\frac{5}{9}$AB，
同理可得AE₂=$\frac{5}{9}$AC，
与（1）一样可证明△AD₂E₂∽△ABC，
∴$\frac{{D}_{2}{E}_{2}}{BC}$=$\frac{A{D}_{2}}{AB}$=$\frac{5}{9}$，
∴D₂E₂=$\frac{5}{9}$a；
（3）∵AD₂=$\frac{5}{9}$AB，
∴D₂B=$\frac{4}{9}$AB，
∴D₂D₃=$\frac{1}{3}$D₂B=$\frac{1}{3}$×$\frac{4}{9}$AB=$\frac{4}{27}$AB，
∴AD₃=AD₂+D₂D₃=$\frac{19}{27}$AB，
同理可得AE₃=$\frac{19}{29}$AC，
与（1）一样可证明△AD₃E₃∽△ABC，
∴$\frac{{D}_{3}{E}_{3}}{BC}$=$\frac{A{D}_{3}}{AB}$=$\frac{19}{27}$，
∴D₂E₂=$\frac{19}{29}$a．
故答案为$\frac{5}{9}$a；$\frac{19}{29}$a．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．