Question

【题目】已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在BC边所在直线上， PE＝PB．

(1)如图1，当点E在线段BC上时，

求证：①PE＝PD，②PE⊥PD.

简析： 由正方形的性质，图1中有三对全等的三角形，

即△ABC≌△ADC，_______≌_______，和_______≌______，由全等三角形性质，结合条件中PE＝PB，易证PE＝PD.要证PE⊥PD，考虑到∠ECD = 90°，故在四边形PECD中，只需证∠PDC +∠PEC＝______即可.再结合全等三角形和等腰三角形PBE的性质，结论可证.

(2)如图2，当点E在线段BC的延长线上时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

(3)若AB＝1，当△PBE是等边三角形时，请直接写出PB的长.

Answer 1

【答案】(1)△PAB；△PAD；△PBC；△PDC，180°；(2)成立，证明见解析；(3)或.

【解析】

（1）根据题意推导即可得出结论.

（2）求证PE⊥PB ，PE＝PB，由AC为对角线以及已知条件可先证明△PDC≌△PBC，得PD＝PB， PB＝PE，PE＝PD.由△PDC≌△PBC可得出∠PDC＝∠PBC，最后得出∠EPD＝∠FCE＝90°，即PE⊥PB.

(3) 分两种情况讨论当点P在线段AC的反向延长线上时，当点P在线段AC的延长线上时.

(1) 由正方形的性质，图1中有三对全等的三角形，

即△ABC≌△ADC，△PAB≌△PAD，和△PBC≌△PDC，由全等三角形性质，结合条件中PE＝PB，易证PE＝PD.要证PE⊥PD，考虑到∠ECD = 90°，故在四边形PECD中，只需证∠PDC +∠PEC＝180°即可.再结合全等三角形和等腰三角形PBE的性质，结论可证.

(2)(1)中的结论成立．

①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB，又　∵PC＝PC，

∴△PDC≌△PBC.

∴PD＝PB.

∵PB＝PE，

∴PE＝PD.

②由①得△PDC≌△PBC.

∴∠PDC＝∠PBC.

又∵PE＝PB，

∴∠PBE＝∠PEB.

∴∠PDC＝∠PEB

如图，记DC与PE的交点为F，则∠PFD＝∠CFE.

∴∠EPD＝∠FCE＝90°.

∴PE⊥PB.

(3) 如图，当点P在线段AC上时,过点P作PH⊥BC，垂足为H.设PB=x，则

，

∴，解得，

当点P在线段AC的反向延长线上时，同理可得；

当点P在线段AC的延长线上时，△PBE是等边三角形不成立.

综上，x=或.