Question

1．在正方形ABCD中，点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点，点H是直线BC上一点，将线段FH绕点F逆时针旋转90°，得到线段FK，连接EK．
（1）如图1，求证：EF=FG，且EF⊥FG；
（2）如图2，若点H在线段BC的延长线上，求证：BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF+EK；
（3）如图3，若点H在线段BC的反向延长线上，直接写出线段BH、EF、EK之间满足的数量关系为BH=EK-$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得到△AEF≌BGF，再判定出∠EFG=90°即可；
（2）由正方形的性质得到△EFK≌△GFH，再计算出BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FG，结合图形即可；
（3）由正方形的性质得到△EFK≌△GFH，再计算出BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FG，结合图形即可；

解答 证明：（1）∵E，F，是正方形ABCD的边AD，AB，BC的中点，
∴AE=AF=FB=BG，∠A=∠B=90°，
∴△AEF≌BGF，
∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°，
∴∠EFG=180°-∠AFE-∠BFG=90°，
∴EF⊥FG；
（2）由题意有，FH=FK，∠HFK=90°，
∴∠KFE+∠EFH=90°，
∵∠EFG=90°，
∴∠HFG+∠EFH=90°，
∴∠KFE=∠HFG，
∴△EFK≌△GFH，
∴EK=GH，
∵△BFG是等腰直角三角形，
∴BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FG，
∴BH=BG+GH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FG+EK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF+EK．
即：BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF+EK．
（3）由题意有，FH=FK，∠HFK=90°，
∴∠KFE+∠EFH=90°，
∵∠EFG=90°，
∴∠HFG+∠EFH=90°，
∴∠KFE=∠HFG，
∴△EFK≌△GFH，
∴EK=GH，
∵△BFG是等腰直角三角形，
∴BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FG，
∴BH=GH-BG=EK-$\frac{\sqrt{2}}{2}$FG=EK-$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF．
即：∴BH=EK-$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF．
故答案为BH=EK-$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，解本题的关键是判定三角形全等（如△EFK≌△GFH）．