Question

【题目】如图,线段AB＝9，射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以AP为边作正方形APCD,且C、D与点B在AP两侧,在线段DP取一点E,使∠EAP＝∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合).

(1)求证：△AEP≌△CEP；

(2)判断CF与AB的位置关系,并说明理由；

(3)求△AEF的周长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）CF⊥AB，理由详见解析；（3）18.

【解析】

（1）四边形APCD正方形，则DP平分∠APC，PC=PA，∠APD=∠CPD=45°，即可求解；

（2）△AEP≌△CEP，则∠EAP=∠ECP，而∠EAP=∠BAP，则∠BAP=∠FCP，又∠FCP+∠CMP=90°，则∠AMF+∠PAB=90°即可求解；

（3）证明△PCN≌△APB（AAS），则 CN=PB=BF，PN=AB，即可求解．

（1）证明：∵四边形APCD正方形，

∴DP平分∠APC，PC=PA，

∴∠APD=∠CPD=45°，

∴△AEP≌△CEP（SAS）；

（2）CF⊥AB，理由如下：

∵△AEP≌△CEP，

∴∠EAP=∠ECP，

∵∠EAP=∠BAP，

∴∠BAP=∠FCP，

∵∠FCP+∠CMP=90°，∠AMF=∠CMP，

∴∠AMF+∠PAB=90°，

∴∠AFM=90°，

∴CF⊥AB；

（3）过点 C 作CN⊥PB．

∵CF⊥AB，BG⊥AB，

∴FC∥BN，

∴∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB，

又AP=CP，

∴△PCN≌△APB（AAS），

∴CN=PB=BF，PN=AB，

∵△AEP≌△CEP，

∴AE=CE，

∴AE+EF+AF

=CE+EF+AF

=BN+AF

=PN+PB+AF

=AB+CN+AF

=AB+BF+AF

=2AB

=18．