Question

7．如图1，在矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且∠DMF=∠ABF．
（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；
（2）求证：PB=PF+FM；
（3）若矩形ABCD改为?ABCD，如图2，（2）中的结论成立吗？若成立，请证明；不成立，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质和勾股定理求出AE，即可得出AP的长；
（2）延长BF、CD交于点N，由矩形的性质得出CN∥AB，得出∠N=∠PBA，∠NEP=∠BAP，由ASA证明△NEP≌△BAP，得出PB=PN，再证出FN=FM，即可得出结论；
（3）延长BF、CD交于点N，由矩形的性质得出CN∥AB，得出∠N=∠PBA，∠NEP=∠BAP，由ASA证明△NEP≌△BAP，得出PB=PN，再证出FN=FM，即可得出结论．

解答 （1）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADE=90°，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵点P为线段AE的中点，
∴AP=PE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（2）证明：延长BF、CD交于点N，如图1所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴CN∥AB，
∴∠N=∠PBA，∠NEP=∠BAP，
在△NEP和△BAP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NEP=∠BAP}&{\;}\\{AP=PE}&{\;}\\{∠EPN=∠APB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△NEP≌△BAP（ASA），
∴PB=PN，
∵∠DMF=∠ABF，
∴∠N=∠DMF，
∴FN=FM，
∴PB=PN=PF+FN=PF+FM；
（3）解：成立；理由如下：
延长BF、CD交于点N，如图2所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴CN∥AB，
∴∠N=∠PBA，∠NEP=∠BAP，
在△NEP和△BAP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NEP=∠BAP}&{\;}\\{AP=PE}&{\;}\\{∠EPN=∠APB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△NEP≌△BAP（ASA），
∴PB=PN，
∵∠DMF=∠ABF，
∴∠N=∠DMF，
∴FN=FM，
∴PB=PN=PF+FN=PF+FM．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结论．