Question

18．如图是某个园区部分景点（景点A，B，C，D，E）示意图，景点A，D之间是一个荷花池，景点E，D和景点B，D之间正在维修，不能通行．已知AB=400$\sqrt{3}$米，BC=l000米，CE=600米，CD⊥AD，∠BDC=45°，∠ABD=15°．请根据以上条件求出荷花池AD的宽度和景点E，D之间的距离．

Answer 1

分析 过B作BF⊥AD交DA的延长线于点F，过B作BG⊥CD于G，则四边形BFDG为矩形，在Rt△BFA中可求出BF，AF的长，进而可求出AD的长，在Rt△BGC中，利用勾股定理可求出CG=800米，所以CD=CG+GD=1400米，进而可求出ED=CD-CE=1400-600=800米．

解答 解：过B作BF⊥AD交DA的延长线于点F，
∵CD⊥AD，
∴BF∥DC．
∵∠BDC=45°，
∴∠FBD=45°．
又∵∠ABD=15°，
∴∠FBA=30°．
∴在Rt△BFA中，BF=AB•cos∠FBA=400$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=600米．AF=AB•sin∠FBA=400$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=200$\sqrt{3}$米．
在Rt△BFD中，DF=BF=600米，
∴AD=DF-AF=（600-200$\sqrt{3}$）米．
过B作BG⊥CD于G，则四边形BFDG为矩形，又BF=DF，
∴四边形BFDG为正方形，
∴BG=FB=600．在Rt△BGC中，CG=$\sqrt{B{C}^{2}-B{G}^{2}}$=800米，
∴CD=CG+GD=1400米，ED=CD-CE=1400-600=800米．
∴荷花池AD宽（600-200$\sqrt{3}$）米，景点E，D之间的距离为800米．

点评 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，特殊角的三角函数值的计算，三角函数在直角三角形中的运用，解题的关键正确作出高线构造直角三角形．