【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=6cm,若点P从点A出发,以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动,设运动时间为t秒(t>0).
(1)若点P在AC上,且满足△BCP的周长为14cm,求此时t的值;
(2)若点P在∠BAC的平分线上,求此时t的值;
(3)在运动过程中,直接写出当t为何值时,△BCP为等腰三角形.
【答案】(1);(2);(3)t为s或5.3s或5s或s时,△BCP为等腰三角形.
【解析】
(1)根据△BCP的周长为14cm, 可得AP=4t,PC=8-4t,BP=14-PC-BC=4t,根据勾股定理列出方程可求得t的值;
(2)过P作PE⊥AB,设CP=x,根据角平分线的性质和勾股定理列方程式求出CP,由此可求出t;
(3)分类讨论:当CP=CB时,△BCP为等腰三角形,若点P在AC上,根据AP的长即可得到t的值,若点P在AB上,根据P移动的路程易得t的值;当PC=PB时,△BCP为等腰三角形,作PD⊥BC于D,根据等腰三角形的性质得BD=CD,则可判断PD为△ABC的中位线,则AP=0.5AB=5,易得t的值;当BP=BC=6时,△BCP为等腰三角形,易得t的值.
(1)∵△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=6cm,
∴由勾股定理得,
如图,连接BP,
当△BCP的周长为14cm 时,
在中根据勾股定理
即
解得.
故此时;
(2)如图1,过P作PE⊥AB,
又∵点P恰好在∠BAC的角平分线上,且∠C=90°,AB=10cm,BC=6cm,
∴CP=EP,
∴△ACP≌△AEP(HL),
∴AC=8cm=AE,BE=2,
设CP=x,则BP=6x,PE=x,
∴Rt△BEP中,BE2+PE2=BP2,
即22+
解得x=,
∴CP=,
∴CA+CP=8+=,
∴;
(3)①如图2,当CP=CB时,△BCP为等腰三角形
若点P在CA上,则4t=86,
解得t= (s);
②如图3,
当BP=BC=6时,△BCP为等腰三角形,
∴AC+CB+BP=8+6+6=20,
∴t=20÷4=5(s);
③如图4,
若点P在AB上,CP=CB=6,作CD⊥AB于D,则根据面积法求得CD=4.8,
在Rt△BCD中,由勾股定理得,BD=3.6,
∴PB=2BD=7.2,
∴CA+CB+BP=8+6+7.2=21.2,
此时t=21.2÷4=5.3(s);
④如图5,
当PC=PB时,△BCP为等腰三角形,作PD⊥BC于D,则D为BC的中点,
∴PD为△ABC的中位线,
∴AP=BP=AB=5,
∴AC+CB+BP=8+6+5=19,
∴t=19÷4=(s);
综上所述,t为s或5.3s或5s或s时,△BCP为等腰三角形.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,点O是AB边上一点,以O为圆心作⊙O且经过A,D两点,交AB于点E.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)AC=2,AB=6,求BE的长.
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【题目】在平行四边形ABCD中,,,绕点C旋转,角的两边分别与AB、AD交于点E、F,同时也分别与DA、BA的延长线交于点G、H.
如图1,若.
求证:≌;
在绕点C旋转的过程中,线段AC、AG、AH之间存在着怎样的数量关系?并说明理由.
如图2,若,经探究得的值为常数k,求k的值.
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【题目】阅读下面材料:
在数学课上,老师提出利用尺规作图完成下面问题:
已知:∠ACB是△ABC的一个内角.
求作:∠APB=∠ACB.
小明的做法如下:
如图
①作线段AB的垂直平分线m;
②作线段BC的垂直平分线n,与直线m交于点O;
③以点O为圆心,OA为半径作△ABC的外接圆;
④在弧ACB上取一点P,连结AP,BP.
所以∠APB=∠ACB.
老师说:“小明的作法正确.”
请回答:
(1)点O为△ABC外接圆圆心(即OA=OB=OC)的依据是_____;
(2)∠APB=∠ACB的依据是_____.
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【题目】如图,已知中, , , ,D是AB边的中点,E是AC边上一点,联结DE,过点D作交BC边于点F,联结EF.
(1)如图1,当时,求EF的长;
(2)如图2,当点E在AC边上移动时, 的正切值是否会发生变化,如果变化请说出变化情况;如果保持不变,请求出的正切值;
(3)如图3,联结CD交EF于点Q,当是等腰三角形时,请直接写出BF的长.
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【题目】在等边△ABC外作射线AD,使得AD和AC在直线AB的两侧,∠BAD=α(0°<α<180°),点B关于直线AD的对称点为P,连接PB,PC.
(1)依题意补全图1;
(2)在图1中,求△BPC的度数;
(3)直接写出使得△PBC是等腰三角形的α的值.
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【题目】如图,五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,则∠BAE的度数为何?( )
A. 115 B. 120 C. 125 D. 130
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【题目】在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,如图所示.
(1)求证:△ABE≌△ADF;
(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
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