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【题目】如图,ABC中,∠ACB=90°AB=10cmBC=6cm,若点P从点A出发,以每秒4cm的速度沿折线ACBA运动,设运动时间为t秒(t0).

1)若点PAC上,且满足BCP的周长为14cm,求此时t的值;

2)若点P在∠BAC的平分线上,求此时t的值;

3)在运动过程中,直接写出当t为何值时,BCP为等腰三角形.

【答案】1;(2;(3ts5.3s5ss时,BCP为等腰三角形.

【解析】

1)根据BCP的周长为14cm 可得AP=4tPC=8-4tBP=14-PC-BC=4t,根据勾股定理列出方程可求得t的值;

2)过PPEAB,设CP=x,根据角平分线的性质和勾股定理列方程式求出CP,由此可求出t

3)分类讨论:当CP=CB时,BCP为等腰三角形,若点PAC上,根据AP的长即可得到t的值,若点PAB上,根据P移动的路程易得t的值;当PC=PB时,BCP为等腰三角形,作PDBCD,根据等腰三角形的性质得BD=CD,则可判断PDABC的中位线,则AP=0.5AB=5,易得t的值;当BP=BC=6时,BCP为等腰三角形,易得t的值.

(1)ABC,ACB=90°AB=10cmBC=6cm

由勾股定理得

如图,连接BP

BCP的周长为14cm 时,

中根据勾股定理

解得.

故此时

2)如图1,过PPEAB

又∵点P恰好在∠BAC的角平分线上,且∠C=90°AB=10cmBC=6cm

CP=EP

ACPAEP(HL)

AC=8cm=AEBE=2

CP=x,则BP=6xPE=x

RtBEP,BE2+PE2=BP2

22+x2=(6x)2

解得x=

CP=

CA+CP=8+=

3如图2,CP=CB,BCP为等腰三角形

若点PCA上,则4t=86

解得t= (s)

如图3

BP=BC=6时,BCP为等腰三角形,

AC+CB+BP=8+6+6=20

t=20÷4=5(s)

如图4

若点PAB上,CP=CB=6,作CDABD,则根据面积法求得CD=4.8

RtBCD中,由勾股定理得,BD=3.6

PB=2BD=7.2

CA+CB+BP=8+6+7.2=21.2

此时t=21.2÷4=5.3(s)

如图5

PC=PB时,BCP为等腰三角形,作PDBCD,则DBC的中点,

PDABC的中位线,

AP=BP=AB=5

AC+CB+BP=8+6+5=19

t=19÷4=(s)

综上所述,ts5.3s5ss时,BCP为等腰三角形.

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②作线段BC的垂直平分线n,与直线m交于点O;

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④在弧ACB上取一点P,连结AP,BP.

所以∠APB=∠ACB.

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请回答:

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(2)∠APB=∠ACB的依据是_____

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