Question

1．如图1，△ABC和△EPF都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠EFP=90°，AC=BC，EF=PF，边BC与边FP在直线l上，边AC与边EF重合．
（1）直接写出图1中AB与AP之间的关系；
（2）将△EPF沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．试猜想AP与BQ之间的关系，并说明理由；
（3）将△EPF沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ．你认为（2）中所猜想的AP与BQ之间的关系仍成立吗？若成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用图形得出AB与AP的数量关系和位置关系；
（2）根据题意得出△BCQ≌△ACP（SAS），进而得出BQ与AP的数量关系和位置关系；
（3）根据题意得出△BCQ≌△ACP（SAS），进而得出BQ与AP的数量关系和位置关系．

解答 解：（1）AB与AP的数量关系和位置关系分别是：AB=AP，AB⊥AP；
（2）BQ=AP，BQ⊥AP．理由如下：
如图2，延长BQ交AP于点M，

∵∠EFP=90°，EF=PF，
∴∠E=∠EPF=45°，
∵∠ACB=90°
∴∠ACP=180°-∠ACB=90°
∴∠CQP=45°=∠EPF，
∴QC=PC，
在△BCQ和△ACP中
∵$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCQ=∠ACP=9{0}^{°}}\\{CQ=CP}\end{array}\right.$，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴BQ=AP，∠QBC=∠CAP．
∵∠CAP+∠APC=90°
∴∠QBC+∠APC=90°
∴∠BMP=90°
∴BQ⊥AP．                                    
（3）在（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系仍成立，即：BQ=AP  BQ⊥AP．
理由如下：
如图3，延长QB交AP于点N．

∵∠EFP=90°，EF=PF，
∴∠E=∠EPF=45°
∴∠QPC=∠EPF=45°
∵∠ACB=90°
∴∠PCQ=90°
∴∠PQC=45°=∠QPC，
∴QC=PC，
在△BCQ和△ACP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCQ=∠ACP=9{0}^{°}}\\{CQ=CP}\end{array}\right.$，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴BQ=AP．
∠BQC=∠APC，
∵∠APC+∠PAC=90°
∴∠BQC+∠PAC=90°
∴∠ANQ=90°
∴BQ⊥AP．

点评 此题主要考查了几何变换以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△BCQ≌△ACP是解题关键．