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    6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
    （1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
    （2）当t=2时，求△PEF的面积；
    （3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明；
    （2）根据相似三角形的性质得到$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AH}{AD}$，求出EF的长，根据三角形的面积公式计算；
    （3）分PE⊥EF，PF⊥EF两种情况，根据相似三角形的性质进行解答即可．

    解答 （1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
    ∴∠BAD=∠CAD，又直线m垂直于AD，
    ∴AD垂直平分EF，
    当t=2时，DH=4，又AD=8，
    ∴AH=HD，
    则AD与EF垂直平分，
    ∴四边形AEDF为菱形；
    （2）解：∵m∥BC，
    ∴△AEF∽△ABC，
    ∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AH}{AD}$，
    ∴EF=$\frac{1}{2}$BC=5，
    ∴△PEF的面积=$\frac{1}{2}$×EF×DH=10cm2；
    （3）解：如图1，当PE⊥EF时，
    由题意得，BP=3t，PE=2t，
    ∵PE⊥EF，AD⊥BC，
    ∴EP∥AD，
    ∴$\frac{BP}{BD}$=$\frac{EP}{AD}$，即$\frac{3t}{5}$=$\frac{2t}{8}$，
    则t不存在；
    如图2，当PF⊥EF时，
    PF=2t，CP=10-3t，
    ∵PF∥AD，
    ∴$\frac{PF}{AD}$=$\frac{CP}{CD}$，即$\frac{10-3t}{5}$=$\frac{2t}{8}$，
    解得t=$\frac{40}{17}$，
    ∴当t=$\frac{40}{17}$时，△PEF为直角三角形．
    如图3，
    当EP⊥FP时，分别过E、F作BC的垂线，垂足分别是G、M．
    由于EF平行BC，又因为∠EGP=∠FPE=∠PMF=90°
    故易证△EGP∽△FPE∽△PMF；
    又△BGE∽△BDA，EG=2t，故可以求得BG=$\frac{5}{4}t$，从而GP=BP-BG=$\frac{7}{4}t$，
    由等腰三角形的对称性可知，CM=$\frac{5}{4}t$，从而PM=BC-BP-MC=10-$\frac{17}{4}t$；
    因为△EGP∽△PMF，有$\frac{EG}{PM}=\frac{GP}{MF}$，分别代入数据，
    有$\frac{2t}{10-\frac{17}{4}t}=\frac{\frac{7}{4}t}{2t}$
    整理得$（\frac{183}{16}t-\frac{70}{4}）t=0$，故t=0（舍去），t=$\frac{280}{183}$
    综上当t=$\frac{40}{17}$或$\frac{280}{183}$时，△PEF为直角三角形

    点评 本题考查的是相似三角形知识的综合运用，掌握菱形的判定定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．

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