Question

18．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求△ABC的内切圆⊙O的半径．

Answer 1

分析 由切线长定理得出AE=AD，CE=CF，BD=BF；证出四边形OECF是正方形，则列方程即可求得⊙O的半径r．

解答 解：连接圆心O和各个切点，如图所示．
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴AE=AD，CE=CF，BD=BF，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OFC=∠OEC=∠C=90°，
∴四边形OECF是矩形；
∵OE=OF，
∴四边形OECF是正方形；
∵⊙O的半径为r，
∴CE=CF=r，AE=AD=3-r，BD=BF=4-r，
∴3-r+4-r=5，
解得：r=1，
∴△ABC的内切圆的半径r=1．

点评 此题考查了三角形内切圆的性质、切线长定理、勾股定理、正方形的判定；熟练掌握切线长定理，证明四边形是正方形是解决问题的关键．