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【题目】如图ABC与DEF都是等腰直角三角形,ACB=EDF=90°,且点D在AB边上,AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO,显然点C、F、O在同一条直线上,可以证明BOF≌△COD,则BF=CD

解决问题

1将图中的RtDEF绕点O旋转得到图,猜想此时线段BF与CD的数量关系,并证明你的结论;

2如图,若ABC与DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述1中的结论仍然成立吗?如果成立,请说明理由;如不成立,请求出BF与CD之间的数量关系;

3如图,若ABC与DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为0,且顶角ACB=EDF=α,请直接写出的值用含α的式子表示出来

【答案】1BF=CD证明见解析;2)(1中的结论不成立理由见解析;3=tan

【解析】

试题分析:1如答图所示,连接OC、OD,证明BOF≌△COD;

2如答图所示,连接OC、OD,证明BOF∽△COD,相似比为

3如答图所示,连接OC、OD,证明BOF∽△COD,相似比为tan

试题解析:1猜想:BF=CD理由如下:

如答图所示,连接OC、OD

∵△ABC为等腰直角三角形,点O为斜边AB的中点,

OB=OC,BOC=90°

∵△DEF为等腰直角三角形,点O为斜边EF的中点,

OF=OD,DOF=90°

∵∠BOF=BOC+COF=90°+COF,COD=DOF+COF=90°+COF,

∴∠BOF=COD

BOF与COD中,

∴△BOF≌△CODSAS

BF=CD

2答:1中的结论不成立

如答图所示,连接OC、OD

∵△ABC为等边三角形,点O为边AB的中点,

=tan30°=BOC=90°

∵△DEF为等边三角形,点O为边EF的中点,

=tan30°=DOF=90°

∵∠BOF=BOC+COF=90°+COF,COD=DOF+COF=90°+COF,

∴∠BOF=COD

BOF与COD中,

BOF=COD,

∴△BOF∽△COD,

3如答图所示,连接OC、OD

∵△ABC为等腰三角形,点O为底边AB的中点,

=tanBOC=90°

∵△DEF为等腰三角形,点O为底边EF的中点,

=tanDOF=90°

==tan

∵∠BOF=BOC+COF=90°+COF,COD=DOF+COF=90°+COF,

∴∠BOF=COD

BOF与COD中,

==tanBOF=COD,

∴△BOF∽△COD,

=tan

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