【题目】如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且点D在AB边上,AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO,显然点C、F、O在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD,则BF=CD.
解决问题
(1)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②,猜想此时线段BF与CD的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图③,若△ABC与△DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述(1)中的结论仍然成立吗?如果成立,请说明理由;如不成立,请求出BF与CD之间的数量关系;
(3)如图④,若△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为0,且顶角∠ACB=∠EDF=α,请直接写出的值(用含α的式子表示出来)
【答案】(1) BF=CD.证明见解析;(2)(1)中的结论不成立.理由见解析;(3)=tan.
【解析】
试题分析:(1)如答图②所示,连接OC、OD,证明△BOF≌△COD;
(2)如答图③所示,连接OC、OD,证明△BOF∽△COD,相似比为;
(3)如答图④所示,连接OC、OD,证明△BOF∽△COD,相似比为tan.
试题解析:(1)猜想:BF=CD.理由如下:
如答图②所示,连接OC、OD.
∵△ABC为等腰直角三角形,点O为斜边AB的中点,
∴OB=OC,∠BOC=90°.
∵△DEF为等腰直角三角形,点O为斜边EF的中点,
∴OF=OD,∠DOF=90°.
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
∵在△BOF与△COD中,
∴△BOF≌△COD(SAS),
∴BF=CD.
(2)答:(1)中的结论不成立.
如答图③所示,连接OC、OD.
∵△ABC为等边三角形,点O为边AB的中点,
∴=tan30°=,∠BOC=90°.
∵△DEF为等边三角形,点O为边EF的中点,
∴=tan30°=,∠DOF=90°.
∴.
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
在△BOF与△COD中,
∵,∠BOF=∠COD,
∴△BOF∽△COD,
∴
(3)如答图④所示,连接OC、OD.
∵△ABC为等腰三角形,点O为底边AB的中点,
∴=tan,∠BOC=90°.
∵△DEF为等腰三角形,点O为底边EF的中点,
∴=tan,∠DOF=90°.
∴==tan
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
在△BOF与△COD中,
∵==tan,∠BOF=∠COD,
∴△BOF∽△COD,
∴=tan.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则图中共有全等三角形( )
A.5对
B.4对
C.3对
D.2对
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则下列五个结论:①AD上任意一点到AB,AC两边的距离相等;②AD上任意一点到B,C两点的距离相等;③AD⊥BC,且BD=CD;④∠BDE=∠CDF;⑤AE=AF.其中,正确的有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
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【题目】实践与探索:将连续的奇数1,3,5,7…排列成如图的数表用十字框框出5个数(如图)
(1)若将十字框上下左右平移,但一定要框住数列中的5个数,若设中间的数为a,用a的代数式表示十字框框住的5个数字之和;
(2)十字框框住的5个数之和能等于2015吗?若能,分别写出十字框框住的5个数;若不能,请说明理由;
(3)十字框框住的5个数之和能等于365吗?若能,分别写出十字框框住的5个数;若不能,请说明理由.
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【题目】如图一根木棒放在数轴上,木棒的左端与数轴上的点A重合,右端与点B重合.
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动,则当它的左端移动到B点时,它的右端在数轴上所对应的数为20;若将木棒沿数轴向左水平移动,则当它的右端移动到A点时,则它的左端在数轴上所对应的数为5(单位:cm),由此可得到木棒长为cm.
(2)由题(1)的启发,请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题:
问题:一天,小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄,爷爷说:“我若是你现在这么大,你还要40年才出生;你若是我现在这么大,我已经125岁,是老寿星了,哈哈!”,请求出爷爷现在多少岁了?
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【题目】下列识别图形不正确的是( )
A.有一个角是直角的平行四边形是矩形
B.有三个角是直角的四边形是矩形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
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