Question

16．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点P在x轴的负半轴上，作⊙P交y轴于点A，B，交x轴于C，D两点，已知A（0，2），D（-1，0），且点A是弧DG的中点，连结DG，AG，DG与y轴交于点E．
（1）求证：AE=DE；
（2）求P点的坐标及CG的长；
（3）如图2，点Q是⊙P上的一个动点，在x轴下方，连结AQ，交DG与点R，当△AGR是等腰三角形时，求GQ的值．（不需要过程，直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）由A是DG$\widehat{DG}$的中点，得到$\widehat{AD}$=$\widehat{AG}$，AG=AD，因为CD是直径，AB⊥CD，得到AD=BD，∠BAD=∠ABD，∠BAD=∠ADE，所以AE=DE；
（2）由OA=2，OD=1，设半径为x，则OP=x-1，根据勾股定理得方程，求得P点的坐标及CG的长；
（3）有三种情况：①AR=GR时，GQ=AC=2；②AG=AR时，过C作CI⊥QG于I，连接CQ，由AG=AR得到∠AGR=∠ARG，∠AGD+∠QGD=∠ACG+∠CGQ，因为$\widehat{AG}$=$\widehat{AD}$，所以∠AGD=∠ACG，根据∠QGD+∠CGQ=90°，得到∠QGD=∠CGQ=45°，CQ=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，因为CI⊥GQ，所以IG=IC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，RQ=$\sqrt{{CQ}^{2}{-CG}^{2}}=2\sqrt{2}$，GQ=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$；
③当AG=RG时，作GH⊥AC于H，由∠GAC=∠GDC，∠GHC=∠DGC=90°，得到△AGH∽△DCG，$\frac{AG}{AH}$=$\frac{CD}{DG}$，AH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，AR=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，CR=AC-AH-AR=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，根据∠GAR=∠Q，∠ARG=∠CRQ，RG=AG=$\sqrt{5}$，$\frac{RQ}{CR}$=$\frac{AR}{RG}$，得到RG=$\frac{16\sqrt{5}}{25}$，GQ=CR+RQ=$\frac{41\sqrt{5}}{25}$．

解答 证明：如图1（1）连结AD，BD，
∵A是DG$\widehat{DG}$的中点，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AG}$，
∴AG=AD，
∴∠AGD=∠ADG，
∵CD是直径，AB⊥CD，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AE=DE；

（2）如图2，由题意得：OA=2，OD=1
连结AP，设半径为x，则OP=x-1，
∴（x-1）²+2²=x²，
解得：x=2.5，
∴P（-1.5，0），
∵AG=AD
∴AP⊥DG，DG=2DF，
∵S_△ADP=$\frac{1}{2}$AP•DF=$\frac{1}{2}PD$•OA，PA=PD，
∴DF=OA=2
∴DG=4，∵CD=5，
∴CG=3；

（3）如图3①AR=GR时，GQ=AC=2$\sqrt{5}$，
如图4②AG=AR时，GQ=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
过C作CI⊥QG于I，连接CQ，
∵AG=AR∴∠AGR=∠ARG，
∴∠AGD+∠QGD=∠ACG+∠CGQ，
∵$\widehat{AG}$=$\widehat{AD}$，
∴∠AGD=∠ACG，
∴∠QGD=∠CGQ，
∵∠QGD+∠CGQ=90°，
∴∠QGD=∠CGQ=45°，
∴CQ=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∵CI⊥GQ，
∴IG=IC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴RQ=$\sqrt{{CQ}^{2}{-CG}^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴GQ=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$；
③如图5当AG=RG时，GQ=$\frac{41\sqrt{5}}{25}$，
作GH⊥AC于H，
∵∠GAC=∠GDC，∠GHC=∠DGC=90°，
∴△AGH∽△DCG，
∴$\frac{AG}{AH}$=$\frac{CD}{DG}$，∴AH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴AR=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴CR=AC-AH-AR=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵∠GAR=∠Q，∠ARG=∠CRQ，RG=AG=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{RQ}{CR}$=$\frac{AR}{RG}$，
∴RG=$\frac{16\sqrt{5}}{25}$，
∴GQ=CR+RQ=$\frac{41\sqrt{5}}{25}$，
综上所述：GQ的长度；2$\sqrt{5}$，$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，$\frac{41\sqrt{5}}{25}$．

点评 本题主要考查了圆的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平面直角坐标系中点的求法等知识点．