Question

已知关于x的一元二次方程x²-（k+1）x+k=0．
（1）求证：对于任意实数k，方程都有两个实数根；
（2）若此方程的一个实数根为0，求k的值及方程的另一个根．

Answer 1

分析：（1）要想证明对于任意实数k，方程有两个实数根，只要证明△≥0即可；
（2）把方程的一个实数根0代入原方程求出k的值，然后把k的值代入原方程求出方程的另一个根．

解答：（1）证明：∵△=b²-4ac=[-（k+1）]²-4×1×k=（k-1）²≥0，
∴对于任意实数k，方程有两个不相等的实数根．

（2）解：把x=0代入方程得：0-（k+1）×0+k=0，解得k=0，
把k=0代入方程得：x²-x=0，解得：x₁=0，x₂=1，
故k的值为0，方程的另一个根为0．

点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
同时本题考查了方程的解的定义，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．