Question

已知，如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是BD的中点，AB=BD
求证：∠CAD=∠EAD．

Answer 1

考点：含30度角的直角三角形,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过点A作AF平行且等于BD，判断出四边形ABCF为菱形，根据菱形的四条边都相等可得AF=DF=BD，菱形的对角线平分一组对角线可得∠ADB=∠ADF，连接FC，得到四边形ADCF为平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分可得DF=DG，从而得到DE=DG，再利用“边角边”证明△AED和△AGD全等，根据全等三角形对应角相等证明即可．

解答：证明：如图，过点A作AF平行且等于BD，
所以，四边形ABDF是平行四边形，
∵AB=BD，
∴ABCF为菱形，
∴AF=DF=BD，∠ADB=∠ADF，
连接FC，
又∵BD=CD，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∴G为DF中点，
∵点E是BD的中点，
∴DE=

1

2

BD，
∴DE=DG，
在△AED和△AGD中，

DE=DG ∠ADB=∠ADF AD=AD

，
∴△AED≌△AGD（SAS），
∴∠CAD=∠EAD．

点评：本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，综合题，难度较大，作辅助线构造出菱形和全等三角形是解题的关键．