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【题目】如图,P是线段AB上一点,AB=12cmCD两点分别从PB出发以1cm/s2cm/s的速度沿直线AB向左运动(C在线段AP上,D在线段BP上),运动的时间为t.

1)当t=1时,PD=2AC,请求出AP的长;

2)当t=2时,PD=2AC,请求出AP的长;

3)若CD运动到任一时刻时,总有PD=2AC,请求出AP的长;

4)在(3)的条件下,Q是直线AB上一点,且AQBQ=PQ,求PQ的长.

【答案】14cm;(24cm;(34cm;(44cm12cm

【解析】试题分析

(1) 观察图形可以看出图中的线段PC和线段BD的长分别代表动点CD的运动路程. 利用路程等于速度与时间之积的关系可以得到线段PC和线段BD的长进而发现BD=2PC. 结合条件PD=2AC可以得到PB=2AP. 根据上述关系以及线段AB的长可以求得线段AP的长.

(2) 利用“路程等于速度与时间之积”的关系结合题目中给出的运动时间,可以求得线段PC和线段BD的长进而发现BD=2PC. 根据BD=2PCPD=2AC的关系,依照第(1)小题的思路,可以求得线段AP的长.

(3) 利用“路程等于速度与时间之积”的关系可知,只要运动时间一致,点C与点D运动路程的关系与它们运动速度的关系一致. 根据题目中给出的运动速度的关系,可以得到BD=2PC. 这样,本小题的思路就与前两个小题的思路一致了. 于是依照第(1)小题的思路,可以求得线段AP的长.

(4) 由于题目中没有指明点Q与线段AB的位置关系,所以应该按照点Q在线段AB上以及点Q在线段AB的延长线上两种情况分别进行求解. 首先,根据题意和相关的条件画出相应的示意图. 根据图中各线段之间的关系并结合条件AQ-BQ=PQ得到APBQ之间的关系,借助前面几个小题的结论,即可求得线段PQ的长.

试题解析

(1) 因为点CP出发以1(cm/s)的速度运动,运动的时间为t=1(s)所以 (cm).

因为点DB出发以2(cm/s)的速度运动,运动的时间为t=1(s)所以 (cm).

BD=2PC.

因为PD=2ACBD=2PC所以BD+PD=2(PC+AC)PB=2AP.

AB=AP+PB=3AP.

因为AB=12cm,所以 (cm).

(2) 因为点CP出发以1(cm/s)的速度运动,运动的时间为t=2(s)所以 (cm).

因为点DB出发以2(cm/s)的速度运动,运动的时间为t=2(s)所以 (cm).

BD=2PC.

因为PD=2ACBD=2PC所以BD+PD=2(PC+AC)PB=2AP.

AB=AP+PB=3AP.

因为AB=12cm,所以 (cm).

(3) 因为点CP出发以1(cm/s)的速度运动,运动的时间为t(s)所以 (cm).

因为点DB出发以2(cm/s)的速度运动,运动的时间为t(s)所以 (cm).

BD=2PC.

因为PD=2ACBD=2PC所以BD+PD=2(PC+AC)PB=2AP.

AB=AP+PB=3AP.

因为AB=12cm,所以 (cm).

(4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论.

(1) Q在线段AB(如图①).

因为AQ-BQ=PQ所以AQ=PQ+BQ.

因为AQ=AP+PQ所以AP=BQ.

因为所以.

.

因为AB=12cm,所以 (cm).

(2) Q不在线段AB则点Q在线段AB的延长线上(如图②).

因为AQ-BQ=PQ所以AQ=PQ+BQ.

因为AQ=AP+PQ所以AP=BQ.

因为所以.

.

因为AB=12cm,所以 (cm).

综上所述PQ的长为4cm12cm.

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