Question

【题目】如图，已知抛物线y＝－x2－x＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.

(1)求点A，B，C的坐标；

(2)此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(－4，0)，点C的坐标为(0，2)；(2) 点M坐标为(－1，－1)或(－1，2＋)或(－1，2－)．

【解析】试题分析：（1）由抛物线y＝－x2－x＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，分别令y=0与x=0，即可求得答案；

（2）分别从M，C，A为顶点去分析求解即可求得答案．

试题解析：(1)令y＝0，得－x2－x＋2＝0，

∴x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2，

∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(－4，0)，

令x＝0，得y＝2，

∴点C的坐标为(0，2)；

(2)①当C为等腰三角形的顶角的顶点时，CM1＝CA＝2，CM2＝CA，

作M1N⊥OC于N，则M1N＝1.

在Rt△CM1N中，CN＝＝，

∴点M1坐标为(－1，2＋)，点M2坐标为(－1，2－)；

②当M3为等腰三角形的顶角的顶点时，

易求直线AC的表达式为y＝－x＋2，

∴线段AC的垂直平分线为y＝x与对称轴的交点为M3(－1，－1)，

∴点M3的坐标为(－1，－1)；

③当点A为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在，

综上所述：点M坐标为(－1，－1)或(－1，2＋)或(－1，2－)．