Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形沿BP折叠，分别得到点A，O的对应点点A′，O′，过点A′C∥AB，若A′C与半圆O恰好相切，则∠ABP的大小为_____°．

Answer 1

【答案】15

【解析】

作OG⊥A′C于G，BH⊥A′C于H，如图，根据切线的性质得到OG＝OB，再利用A′C∥AB可证明四边形OBHG为正方形，接着根据折叠的性质得∠A′BP＝∠ABP＝α，BA′＝BA，所以A′B＝2BH，根据特殊角的三角函数值得到∠BA′H＝30°，然后利用∠HA′B＝∠ABA′＝2α可确定α的度数．

作OG⊥A′C于G，BH⊥A′C于H，如图，

∵A′C与半圆O恰好相切，

∴OG为⊙O的半径，即OG＝OB，

∵A′C∥AB，

∴OG⊥OB，BH⊥OB，∠HA′B＝∠ABA′，

∴四边形OBHG为正方形，

∵图形沿BP折叠，分别得到点A，O的对应点点A′，O′，

∴∠A′BP＝∠ABP＝α，BA′＝BA，

∴A′B＝2BH，

∴∠BA′H＝30°，

∵∠HA′B＝∠ABA′＝2α，

∴α＝15°，

故答案为：15．