Question

20．已知抛物线y₁=-x²+mx+n，直线y₂=kx+b，y₁的对称轴与y₂交于点A（-1，5），点A与y₁的顶点B的距离是4．
（1）求y₁的解析式；
（2）若y₂随着x的增大而增大，且y₁与y₂都经过x轴上的同一点，求y₂的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y₁的解析式；
（2）分两种情况讨论：当y₁的解析式为y₁=-x²-2x时，抛物线与x轴的交点是抛物线的顶点（-1，0），不合题意；
当y₁=-x²-2x+8时，解-x²-2x+8=0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y₂随着x的增大而增大，求得y₁与y₂都经过x轴上的同一点（-4，0），然后根据待定系数法求得即可．

解答 解：（1）∵抛物线y₁=-x²+mx+n，直线y₂=kx+b，y₁的对称轴与y₂交于点A（-1，5），点A与y₁的顶点B的距离是4．
∴B（-1，1）或（-1，9），
∴-$\frac{m}{2×（-1）}$=-1，$\frac{4×（-1）n-{m}^{2}}{4×（-1）}$=1或9，
解得m=-2，n=0或8，
∴y₁的解析式为y₁=-x²-2x或y₁=-x²-2x+8；
（2）①当y₁的解析式为y₁=-x²-2x时，抛物线与x轴交点是（0.0）和（-2.0），
∵y₁的对称轴与y₂交于点A（-1，5），
∴y₁与y₂都经过x轴上的同一点（-2，0），
把（-1，5），（-2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=5}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=5}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴y₂=5x+10．
②当y₁=-x²-2x+8时，解-x²-2x+8=0得x=-4或2，
∵y₂随着x的增大而增大，且过点A（-1，5），
∴y₁与y₂都经过x轴上的同一点（-4，0），
把（-1，5），（-4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=5}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{b=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$；
∴y₂=$\frac{5}{3}$x+$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键．