Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=

3

DC，点E在线段BC上，BC=6EC，连接AE，将线段AE绕点A顺时针旋转60°，点E恰好落在线段BD上的点F处，且BF=3，则线段AB的长为

 

．

Answer 1

考点：梯形,全等三角形的判定与性质,勾股定理,旋转的性质

专题：

分析：作出图形，延长AE与DC相交于N，连接EF、NF、NB，根据旋转的性质判断出△AEF是等边三角形，再求出∠BDC=60°，然后判断出A、D、N、F四点共圆，再根据圆内接四边形的性质求出∠AFN=90°，根据同弧所对的圆周角相等求出∠ANF=∠ADF=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AN=2AF，从而得到AE=EN，再求出CE：AD=NE：NA=1：2，设CE=x，求出AD，BC，CD，再求出NC、BD，从而得到BD=DN，判断出△DBN是等边三角形，再利用勾股定理列式求出AN，然后表示出AF、NF，过点N作NH⊥BD于H，求出NH，FH，再根据BF列出方程求出x，延长BA、CD相交于点M，求出MD：MC=AD：BC=1：3，然后求出MD，MA，再利用勾股定理列式求出MB，然后根据AB=MB-MA计算即可得解．

解答：解：如图，延长AE与DC相交于N，连接EF、NF、NB，
∵线段AE绕点A顺时针旋转60°得到AF，
∴△AEF为等边三角形，
∵BC=

3

DC，
∴∠BDC=60°=∠FAE，
∴A、D、N、F四点共圆，
∴∠AFN=180°-∠ADC=90°，
∴∠ANF=∠ADF=30°，
∴AN=2AF，
∵AE=AF，
∴AE=EN，
∴CE：AD=NE：NA=1：2，
设CE=x，则AD=2x，BC=6x，CD=

1

3

×6x=2

3

x，
∴NC=2

3

x，BD=2CD=4

3

x，
∴BD=DN，
∴△DBN是等边三角形，
由勾股定理得，AN=

AD2+DN2

=

(2x)2+(4 3 x)2

=2

13

x，
∴AF=

1

2

AN=

13

x，
NF=

13

x×

3

=

39

x，
过点N作NH⊥BD于H，则NH=BC=6x，FH=

NF2-NH2

=

( 39 x)2-(6x)2

=

3

x，
∴BF=BH-FH=2

3

x-

3

x=

3

x，
∵BF=3，
∴

3

x=3，
解得x=

3

，
延长BA、CD相交于点M，则MD：MC=AD：BC=2x：6x=1：3，
∵DC=2

3

x，
∴MD=

3

x，
MA=

AD2+MD2

=

(2x)2+( 3 x)2

=

7

x，
∴MB=3

7

x，
∴AB=MB-MA=3

7

x-

7

x=2

7

x=2

7

×

3

=2

21

．
故答案为：2

21

．

点评：本题考查了直角梯形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，难度较大，熟记各性质并作辅助线是解题的关键，作出图形更形象直观．